ディラックのデルタ関数

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数学におけるディラックのデルタ関数（デルタかんすう、delta function）、制御工学におけるインパルス関数 (impulse function) とは、実連続関数 f: R → R に対し、

$\int^{\infty}_{-\infty} f(x)\delta(x)\,dx = f(0)$

を満たす実超関数 δ のことである。デルタ超函数 (delta distribution) あるいは単にディラックデルタ (Dirac's delta) とも呼ばれる。これを最初に定義して量子力学の定式化に用いた物理学者ポール・ディラックにちなみ、この名称がついている。デルタ関数は古典的な意味での関数ではない超関数（分布）の最初の例になっている。

ディラックのデルタの「函数」としての性質は、形式的に次のように述べることができる。まず、f(x) として実直線上つねに一定の値 1 をとる函数をとり、デルタ函数をデルタ函数自身と f(x) = 1 との積であるとみることにより

$\int^{\infty}_{-\infty} \delta(x)dx = 1$

である。一方、積分値が f の 0 での値にしかよらないことから

$\delta(x) = 0\quad (x\ne 0)$

でなければならないが、そのうえで積分値が 0 でない有限の値をとるためには

$\delta(0) = \infty$

が満たされなければならない。

[編集] 概要

上記のように特徴づけられるデルタ関数 δ(x) は、その名前にも表れているように、あたかも通常の関数であるかのように扱われることも珍しくないが、実際には通常の意味の関数と見なすことはできない。例えば、デルタ関数を連続関数で表わすことができないことは以下のようにしてわかる。 δ(x) が連続関数だったとして x = 0 で非零の値をとるならば 0 を含む小区間で非零でなければならず、x ≠ 0 で 0 という条件を満たせない。したがって x ≠ 0 で 0 ならばそれは常に 0 の値をとる関数であり、他の関数とかけて積分しても 0 以外の値をとることはない。点 0 においてのみ不連続であることを認めても、デルタ関数の特徴付けにもちいられている積分が通常の関数の（広義）リーマン積分やルベーグ積分として理解されるならば、このような関数の積分は恒等的に0に等しい関数を積分するのと同じであり積分値は 0 になる。したがって、このような条件を満たすような通常の関数は存在しない。

しかし、通常の意味ではまったく関数ではないデルタ関数は、超関数としては意味を持ち、たとえばデルタ関数はヘヴィサイドの階段関数の弱微分（超函数の意味での微分）を与えている。

[編集] 初等関数による近似

デルタ関数は実軸上滑らかで有界な関数の空間 $C^\infty_b(\R)$ 上の汎関数になっているが、 $C^\infty_b(\R)$ の双対空間の中でデルタ関数に弱収束するような関数の族 (φ_t) 、つまり

$\int_{-\infty}^\infty f(x)\phi_t(x) dx \rightarrow f(0) \quad (t \rightarrow 0)$

が任意の $f \in C^\infty_b(\R)$ についてなりたつような族 (φ_t) がいくつか知られている。同様にして、滑らかかつ有界とは別の種類の条件を満たす関数の空間の上の汎関数としての弱収束の表示も与えられている。以下に代表的例を2つあげる。

[編集] 正規分布の密度関数による近似

中心 μ、分散 σ² の正規分布の密度関数

$f_{\mu,\sigma}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$

は、デルタ関数の満たすべき

$\int^{\infty}_{-\infty}f_{\mu,\sigma}(x)\,dx = 1$

を満たす。さらに、μ = 0 で σ → 0 とすれば0の近傍の外で一様に f_σ(x) → 0 (x ≠ 0) かつ f_σ(0) → +∞ である。これは、σ → 0 とすることで、関数族 f_σ が汎関数としてデルタ関数に近付くことを意味する。したがって、デルタ関数はある意味で正規分布の密度関数の極限とみなすことができ、

$\lim_{\sigma \to 0} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma} \exp\!\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right)=\delta(x)$

と表現される。デルタ関数の表現に正規分布を用いたが、このことから、デルタ関数は正規分布の一種であると考えることが可能である。デルタ関数は、特殊な確率分布の表現に有用である。

[編集] Sinc関数による近似

Sinc関数から変数変換とスケーリングによって得られる関数族

$f_k(x) = \frac{\sin kx}{\pi x}$ （k は実数）

は、デルタ関数の満たすべき条件

$\int^{\infty}_{-\infty}f_k(x)\,dx = 1$

を満たす。ただし、これは左辺を広義積分 $\lim_{a\rightarrow \infty} \int_{-a}^a$ として解釈した際に成立する等式である。上記の例と違ってこの関数族は k → ∞ としても各点収束しないが、任意のコンパクト台の滑らかな関数 g に対して

$\lim_{k\to \infty} \int_{-\infty}^{\infty}f_k(x) g(x)dx = g(0)$

が成り立っている。これも弱収束の意味でデルタ関数を近似していると考えられ、

$\lim_{k \to \infty}\frac{\sin kx}{\pi x}=\delta(x)$

と表現される。

[編集] 佐藤超函数としての定義

佐藤超函数の流儀では、ディラックのデルタ関数は複素領域から実軸への抽象的境界値

$\delta(x):= \frac{-1}{2 \pi i}\left(\frac{1}{x+ i0} -\frac{1}{x- i0}\right)$

と定義される。ここで抽象的境界値とは正則関数のある種の同値類を表すが、直感的には x ≠ 0 ならば

$\frac{-1}{2 \pi i}\left(\frac{1}{x+ i0} -\frac{1}{x- i0}\right) = \frac{-1}{2 \pi i}\left(\frac{1}{x} -\frac{1}{x}\right) =0$

である。また、デルタ関数の最も重要な性質である

$\int \delta(x)f(x)\,dx= f(0)$

は、複素解析学のコーシーの積分公式から導かれる。厳密な定義には層係数のコホモロジー論を必要とするが、1 変数の場合は比較的容易に理論展開出来る．

[編集] ディラック測度

ディラック関数は以下のようにして定まるディラック測度 δ₀ の非形式的な密度関数だと解釈することができる。実直線のボレル部分集合 A に対して、A が 0 を含む時 δ₀(A) = 1、そうでないとき δ₀(A) = 0 とすると、δ₀は σ-加法性を持っている。この測度に関する有界ボレル関数の積分は

$\int f(x) d\delta_0(x) = f(0)$

であり、形式的に dδ₀(x) = δ(x)dx が成り立っている。

[編集] 関連項目

[編集] 参考文献

Eric W. Weisstein. Delta Function, MathWorld.（英語）
Francois Treves (2006). Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Dover Publications.