カプレカ数

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カプレカ数(カプレカすう、Kaprekar Number)とは、次のいずれかで定義される整数である。

  1. 2乗して前の部分と後ろの部分に分けて和を取ったとき、元の値に等しくなるもの。
  2. 桁を並べ替えて最大にしたものから最小にしたものの差を取ったとき、元の値に等しくなるもの。

名前はインド数学者D. R. カプレカにちなむ。

定義1[編集]

整数を2乗し、それが偶数桁 2n 桁である場合は先頭 n 桁と末尾 n 桁に分け、奇数桁 2n + 1 桁である場合は先頭 n 桁と末尾 n + 1 桁に分けて和を取る。この操作によって元の値に等しくなる数をカプレカ数と呼ぶ。

例えば、2972 = 88209 であるが、これを前の2桁 88 と後ろの3桁 209 に分けて足すと、88 + 209 = 297 となるので、297 はカプレカ数である。

この定義でのカプレカ数は、小さな順に

1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, 5292, …(オンライン整数列大辞典の数列 A006886

である。

定義2[編集]

整数の桁を並べ替えて、最大にしたものから最小にしたものの差を取る。この操作によって元の値に等しくなる数をカプレカ数と呼ぶ。

例えば、7641 - 1467 = 6174 であるから、6174 はこの意味でのカプレカ数であり、4桁では唯一のものである。この定義でのカプレカ数は、小さな順に

0, 495, 6174, 549945, 631764, 63317664, 97508421, 554999445, 864197532, 6333176664 … (A099009)

である。なお、容易に分かるように、この定義でのカプレカ数は全て9倍数である。

最初の数として 2005 を取り、上記の操作を繰り返すと

5200 - 0025 = 5175
7551 - 1557 = 5994
9954 - 4599 = 5355
5553 - 3555 = 1998
9981 - 1899 = 8082
8820 - 0288 = 8532
8532 - 2358 = 6174
7641 - 1467 = 6174

となり、後は 6174 が繰り返される。どのような4桁の数でも最終的に 0 または 6174 になることが確かめられる(1111の倍数のみ0になり,その他は6174になる)。カプレカ自身は4桁の数のみ考察したが、任意の桁で同じことが考えられる。ある与えられた桁数の整数は有限個であるから、この操作の繰り返しにより、必ずループが現れる。その周期が 1 である場合にそれをカプレカ数と呼ぶのである。

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