三体問題

古典力学において、三体問題（さんたいもんだい、英: three-body problem）とは、互いに重力相互作用する三質点系の運動の問題。天体力学では万有引力により相互作用する天体の運行をモデル化した問題として、18世紀中頃から活発に研究されてきた。運動の軌道を与える一般解が求積法では求まらない問題として知られる。

概要

現実的に三体問題を取り扱う場合、問題の簡略化のために、いくつかの仮定がなされることがある。三体ともに同一平面上を運動するという仮定を置く場合、平面三体問題と呼ばれる。三体のうち、一体の質量が他の二体に影響を及ぼさないほど微小で無視できるとする仮定を置いた場合、制限三体問題と呼ばれる。特に制限三体問題において、残り二体の軌道を円軌道と仮定する場合、円制限三体問題と呼ばれる。

現在までに、例外的に解の形が知られている特殊解としては、円制限三体問題におけるラグランジュ点や、三体の質量が等しい場合に8の字型の軌道をとる8の字解、3:4:5のピタゴラス三角形を初期条件とするピタゴラス三体問題等が存在する。

三体問題が求積可能であるかという可積分性についての否定的な結果は、フランスの数学者アンリ・ポアンカレによって、導かれた。1889年にスウェーデン兼ノルウェー国王オスカー2世の還暦を祝うために開催されたコンテストで、ポアンカレはいくつかの仮定を置いた制限三体問題を考察し、運動を定める第一積分と呼ばれる保存量がある種の摂動級数では表現できないことを示した。さらに、ポアンカレはこの研究の中で安定多様体、不安定多様体が交差するために生じるホモクリニック軌道と呼ばれる極めて複雑な運動の挙動の概念に到達した。

こうした三体問題を端緒とする積分可能性やカオス現象の研究は、現代的な力学系理論の発展の契機となっている。

運動方程式

一般三体問題

第 $i$ 体の運動方程式は、その座標を $\mathbf {r} _{i}$、質量を $m_{i}$ とするとき、次式により与えられる。

$m_{i}{\frac {d^{2}\mathbf {r} _{i}}{dt^{2}}}=-\sum _{j\neq i}Gm_{i}m_{j}{\frac {\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i}}{|\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i}|^{3}}}$

ここに $t$ は時刻、$G$ は重力定数である。

この系には以下の10個の運動の積分が存在することがレオンハルト・オイラーの時代までには知られていた ($\mathbf {v} _{i}={\frac {d\mathbf {v} _{i}}{dt}}$ は第 $i$ 体の速度）。

• 重心座標 $\mathbf {R} ={\frac {\sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}}{\sum _{i}m_{i}}}$
• エネルギー $E=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}\mathbf {v} _{i}^{2}-{\frac {1}{2}}\sum _{i\neq j}G{\frac {m_{i}m_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}$
• 運動量 $\mathbf {P} =\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}$
• 角運動量 $\mathbf {L} =\sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}$

この系の自由度は18であるため三体問題が求積可能であるためにはさらに7個の積分が必要であるが、これ以外の運動の積分は存在せず、従って三体問題は求積可能ではない（#求積可能性節を参照）。そのため、三体問題の解は（ラグランジュ点のような例外を除いて）摂動論や数値シミュレーション（N体シミュレーション）を用いて求められる。

制限三体問題

第三体の質量が第一体および第二体の質量に比べて十分小さいとき（$m_{3}\ll m_{1},m_{2}$）、第一体および第二体の運動方程式において第三体による重力の寄与を無視することができる。この近似のもとでの三体問題を特に制限三体問題 (restricted three-body problem) と呼ぶ。制限三体問題においては、第一体および第二体の運動はケプラー運動であり、求積可能である。従って、この場合、二体がつくる重力場中を運動する第三体の軌道を求めることが主たる問題となる。

${\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=-\sum _{j=1,2}Gm_{j}{\frac {\mathbf {r} _{j}(t)-\mathbf {r} }{|\mathbf {r} _{j}(t)-\mathbf {r} _{3}|}}$

多くの場合に、制限三体問題のうち二体が楕円軌道を描く状況が興味の対象となる。特にその軌道が円軌道 (離心率 $e=0$) である場合を円制限三体問題 (circular restricted three-body problem) と呼ぶ。この場合、共動回転系では第一体および第二体が静止し数学的な取り扱いが容易になるため、しばしば採用される。この座標系では円制限三体問題の運動方程式は遠心力とコリオリ力を含む次の形を取る。

${\ddot {x}}=n^{2}x+2n{\dot {y}}-Gm_{1}{\frac {x+a_{1}}{|\mathbf {r} +a_{1}{\hat {\textbf {x}}}|^{3}}}-Gm_{2}{\frac {x-a_{2}}{|\mathbf {r} -a_{2}{\hat {\textbf {x}}}|^{2}}}$

${\ddot {y}}=n^{2}y-2n{\dot {x}}-Gm_{1}{\frac {y}{|\mathbf {r} +a_{1}{\hat {\textbf {x}}}|^{3}}}-Gm_{2}{\frac {y}{|\mathbf {r} -a_{2}{\hat {\textbf {x}}}|^{2}}}$

${\ddot {z}}=-Gm_{1}{\frac {z}{|\mathbf {r} +a_{1}{\hat {\textbf {x}}}|^{3}}}-Gm_{2}{\frac {z}{|\mathbf {r} -a_{2}{\hat {\textbf {x}}}|^{2}}}$

ここで $a$ を二体運動の軌道長半径として $a_{1}={\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}a$, $a_{2}={\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}a$ であり、第一体は座標 $(-a_{1},0,0)$ に、第二体は座標 $(a_{2},0,0)$ にあるものとした。円制限三体問題にはヤコビ積分として知られる保存量

$C_{\mathrm {J} }={\frac {2Gm_{1}}{|\mathbf {r} +a_{1}{\hat {\textbf {x}}}|}}+{\frac {2Gm_{2}}{|\mathbf {r} -a_{2}{\hat {\textbf {x}}}|}}+n^{2}(x^{2}+y^{2})-({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2})$

が存在する。

なお、第一体または第二体の近傍には、その天体の重力が支配的な領域が存在し、ヒル圏と呼ばれる。

特殊解

ラグランジュ点

第一体（黄）と第二体（青）がつくる重力場中を運動する第三体の回転系での平衡点（ラグランジュ点）。

円制限三体問題において、共動回転系において第三体が静止することが可能な5つの点をラグランジュ点と呼び、記号 L₁, L₂, L₃, L₄, L₅ により表される。このうち L₁ から L₃ の3点は第一体、第二体、第三体が一直線上に並ぶもので、オイラーの直線解として知られる。一方 L₄ と L₅ は三体が正三角形を描くもので、ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュによって1772年に発見された。ラグランジュの正三角形解は一般三体問題の場合にも存在する。

詳細は「ラグランジュ点」および「馬蹄形軌道」を参照

月の運動

月の運動は主として地球の重力場によって定まっているが、太陽の重力もまた無視できない寄与を持つ。月の運動の理論は三体問題として定式化され、月の満ち欠けを正確に求めるために詳細に調べられてきた。

詳細は「:en:Lunar theory」を参照

解の性質

求積可能性

三体問題の求積可能性は、19世紀末に証明されたブルンスの定理およびポアンカレの定理によって否定的に解決された。

1887年に出版されたブルンスの定理は次のことを主張する。

一般三体問題について、座標 $(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3})$、運動量 $(\mathbf {p} _{1},\mathbf {p} _{2},\mathbf {p} _{3})$、時刻 $t$ の代数関数であるような運動の積分で上述の10個（重心座標、エネルギー、運動量、角運動量）と線型独立であるようなものは存在しない。

この事実は、ただちに三体問題の非可積分性を意味するものではないものの、可能な運動の積分の形について強い制約を課す。

ポアンカレの定理は次のことを主張する。

パラメータ $\mu$ を持つ近可積分系ハミルトニアン

$H=H_{0}(I)+\mu H_{1}(I,\theta )+\mu ^{2}H_{2}(I,\theta )+\cdots$

（ここに $(I,\theta )$ は作用・角変数で、$H_{1},H_{2},\cdots$ は $\theta$ に関して周期 $2\pi$ であるものとする）について、$\mathrm {det} \,\left({\frac {\partial ^{2}H_{0}}{\partial I_{i}\partial I_{j}}}\right)$ が恒等的にゼロではなく、$H_{1}$ の角変数 $\theta$ に関するフーリエ係数が高々有限個を除いてゼロではないならば、パラメータ $\mu$ に関してべき級数展開

$\Phi (I,\theta ,\mu )=\Phi _{0}(I,\theta )+\mu \Phi _{1}(I,\theta )+\mu ^{2}\Phi _{2}(I,\theta )+\cdots$

が可能であるような $(I,\theta ,\mu )$ について解析的な運動の積分 $\Phi (I,\theta ,\mu )$ は存在しない。

特に、制限三体問題は $\mu =m_{2}/(m_{1}+m_{2})$ と解釈し、$H^{2}$ をハミルトニアンと解釈することでこの定理の仮定を満足し、従ってパラメータ $\mu$ に関して解析的な運動の積分は存在しない。この結果は「三体問題は解析的に解けない」という表現で広く知られている。ただしこれはあくまでパラメータ $\mu$ に解析的に依存する運動の積分が存在することはないということを主張するだけであって、個々の値での非可積分性は定理の主張に含まれない。

特異点

n体問題の有限時間 $t\in [0,t^{*})$ での解 $\left(r_{1}(t),r_{2}(t),r_{3}(t)\right)$ について、それを時刻 $t=t^{*}<\infty$ を超えて延長できないとき、その点を特異点 (singularity) と呼ぶ。極限 $t\to t^{*}$ において粒子座標が有限値に収束する場合、これは粒子の衝突を意味するため衝突特異点 (collision singularity) と呼ぶ。一方そうでない場合を非衝突特異点 (non-collision singularity) と呼ぶ。ただし三体問題においては非衝突特異点が存在しないことがポール・パンルヴェによって証明されている（この考察がパンルヴェ予想の出発点となった）。

三体問題における二体衝突は正則であり適切な座標変換により除去できることがトゥーリオ・レヴィ＝チヴィタやカール・スンドマンの研究によって20世紀前半には明らかになっていた（詳細はレヴィ＝チヴィタ変換を見よ）。一方、三体の同時衝突については Siegel (1941) によって真性特異点であることが示されている。スンドマンは三体衝突が可能であるためには系の全角運動量がゼロでなければならないことを証明した。

McGehee は1974年に現在McGehee変数と呼ばれる座標変換を考案し、三体衝突近傍の振る舞いを取り扱うブロー・アップ (blow up) という手法を開発した。この方法はその後の研究でしばしば用いられている。

最終運動

ピタゴラス三体問題の数値解。これは一体がエスケープし二体が連星を組むhyperbolic-elliptic型の最終運動に到達する。

Chazy (1922) は、三体問題の特異性のない解の $t\to \infty$ での最終的な振る舞いについて研究し、以下に述べる7パターンのいずれかであると結論した。なおここで添え字 $i$, $j$ は 1, 2, 3を走り、例えば $r_{1}$ は第2体と第3体の距離を表す。

• 二体間距離がすべて無限大に発散する場合 $r_{j}\to \infty$ ($j=1,2,3$)。この場合、極限 $r_{j}/t\to C_{j}$ が存在し、その値に応じて次の3パターンに分類される。
  • The hyperbolic motions $H$: $C_{j}>0$ ($j=1,2,3$).
  • The hyperbolic-parabolic motions $HP_{i}$: $C_{i}=0$ かつ $C_{j}>0$ ($j\neq i$).
  • The parabolic motions $P$: $C_{j}=0$ ($j=1,2,3$).
• ひとつの二体間距離が有界 $\sup _{t>0}\{r_{i}(t)\}<\infty$ であり、かつ残りの二体間距離は無限大に発散 $r_{j}\to \infty$ ($j\neq i$) する場合。この場合も極限 $r_{j}/t\to C_{j}$ に応じて次の2パターンに分類される。
  • The hyperbolic-elliptic motions $HE_{i}$: $C_{j}>0$ ($j\neq i$).
  • The parabolic-elliptic motions $PE_{i}$: $C_{j}=0$ ($j\neq i$).
• それ以外の2パターン。
  • The bounded motions $B$: $\sup _{t>0}\{r_{1}(t),r_{2}(t),r_{3}(t)\}<\infty$.
  • The oscillatory motions $OS$: $\varlimsup _{t\to \infty }\sup _{j}\{r_{j}(t)\}=\infty$ かつ $\varliminf _{t\to \infty }\sup _{j}\{r_{j}(t)\}<\infty$.

このうち振動運動 (oscillatory motions) については、Chazy は理論的可能性としてこのパターンを指摘したものの、それが実際に三体問題において存在するのかどうかは不明だった。この問題については1960年に Sitnikov が制限三体問題に（現在シトニコフ問題として知られる配位において）振動運動解が存在することを証明し、その後 Alekseev (1968), Saari and Xia (1989) といった研究を経て Xia (1994) が平面三体問題において振動運動解の存在を証明した。

参考文献

• Florin Diacu and Philip Holmes, Celestial Encounters: The Origins of Chaos and Stability, Princeton University Press (1999) ISBN 978-0691005454
• Ivars Peterson, Newton's Clock: Chaos in the Solar System , W H Freeman & Co (Sd) (1993) ISBN 978-0716727248
• E. T. Whittaker, A Treatise On The Analytical Dynamics Of Particles And Rigid Bodies, Cambridge University Press (1988); 4th edition of 1936 with foreword by Sir William McCrea ed. ISBN 978-0521358835
• Siegel, Carl L.; Moser, Jürgen K. (1995). Lectures on Celestial Mechanics. Springer-Verlag Berlin Heidelberg. doi:10.1007/978-3-642-87284-6. ISBN 978-3-642-87284-6 
• 大貫義郎、吉田春夫 『力学 (現代物理学叢書)』 岩波書店（2001年）ISBN 978-4000067614
• 木下, 宙『天体と軌道の力学』1998年。ISBN 978-4130607216。 
• 長沼伸一郎 物理数学の直観的方法―理工系で学ぶ数学「難所突破」の特効薬〈普及版〉 (ブルーバックス) 講談社, 2011, ISBN 978-4062577380

関連項目

• 力学系 - カオス理論
• 二体問題 - 多体問題