算術幾何数列

数学における算術幾何数列（さんじゅつきかすうれつ、仏: suite arithmético-géométrique; 英: arithmetico–geometric sequence）は、一次の漸化式を満足する数列で、算術数列および幾何数列をともに一般化する。

定義

ここでは任意の可換体 K をひとつ固定する（例えば実数体 ℝ や複素数体 ℂ）。K に値をとる数列 $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ が算術幾何数列であるとは、K の適当な元 a, b が存在して、その数列が以下の漸化式

$$u_{n+1}=au_{n}+b\quad (\forall n\in \mathbb {N} )$$

を満足するときに言う。

注意

途中の番号から始まる列 (u_n)_n≥n0 は、v_p = u_n0+p と置くことにより、常に (v_p)_p∈ℕ なる形に書き直せる。そのような列 (u_n) が n ≥ n₀ において上記の漸化式を満たすことと、(v_p)_p∈ℕ が算術幾何的であることとは同値になる。

性質

• 算術幾何数列は二階線型回帰数列で、斉次線型漸化式 ${\textstyle u_{n+1}=(a+1)u_{n}-au_{n-1}}$ の解として与えられる。
• 算術幾何数列の「公差」b は以下の式で与えられる:
  $$b={\frac {u_{n}^{2}-u_{n-1}u_{n+1}}{u_{n}-u_{n-1}}}.$$
• 算術幾何数列の階差数列 ${\textstyle w_{n}=u_{n+1}-u_{n}}$ は、公比 a の幾何数列である。
• 算術幾何数列の部分和の列 S_n は三階の線型回帰数列で
  $$S_{n+1}=(a+2)S_{n}-(2a+1)S_{n-1}+aS_{n-2}$$
  を満足する。
• 部分和の列が算術幾何数列を成すような数列は、それ自身が幾何数列を成す。

一般項

a = 1 の場合

a = 1 のとき、漸化式は、

$$u_{n+1}=u_{n}+b\quad (\forall n\in \mathbb {N} )$$

となり、これは算術数列の漸化式であるから、一般項は

$$u_{n}=u_{0}+nb\quad (\forall n\in \mathbb {N} )$$

となる。

a ≠ 1 の場合

${\textstyle r={\frac {b}{1-a}}}$ と置けば、一般項は

$$u_{n}=a^{n}(u_{0}-r)+r\quad (\forall n\in \mathbb {N} )$$

で与えられる（a = n = 0 のときは 0⁰ = 1 と約束する）。

平行移動による証明

まず付随する函数 x ↦ ax + b に対し f(r) = r を満たす点 r（f の不動点）を求めると、

$$ar+b=r\iff r=b/(1-a).$$

と書ける。ここで${\textstyle v_{n}=u_{n}-r}$ と置けば、漸化式 u_{n + 1} = au_n + b は v_{n + 1} + r = a(v_n + r) + b から

$$v_{n+1}=av_{n}+ar+b-r=av_{n}$$

となり、数列 (v_n) は公比 a の幾何数列を成す。したがって

$$u_{n}=v_{n}+r=a^{n}v_{0}+r=a^{n}(u_{0}-r)+r.$$

階差による証明

一階の差分 w_n = u_{n + 1} – u_n をとれば、算術幾何数列の線型漸化式は

$$w_{n+1}=u_{n+2}-u_{n+1}=(au_{n+1}+b)-(au_{n}+b)=a(u_{n+1}-u_{n})=aw_{n}$$

となり、数列 (w_n) は公比 a の幾何数列で、初項 ${\textstyle w_{0}=u_{1}-u_{0}=au_{0}+b-u_{0}=(a-1)u_{0}+b}$ を持つ。したがって、幾何級数の部分和の公式から、任意の自然数 n に対して（n = 0 のときは空和は零とする規約を用いて）、

$$\sum _{0\leq k<n}w_{k}=w_{0}{\frac {a^{n}-1}{a-1}}={\frac {(a-1)u_{0}+b}{a-1}}(a^{n}-1)$$

と書ける。これは r = b/(1 – a) と置けば ${\textstyle u_{n}-u_{0}=(u_{0}-r)(a^{n}-1)}$ だから、所期の式

$$u_{n}=(u_{0}-r)(a^{n}-1)+u_{0}=a^{n}(u_{0}-r)+r$$

に達する。

定義節の注意に従えば、より一般に:

$$u_{n}=a^{n-n_{0}}(u_{n_{0}}-r)+r\quad (\forall n_{0}\in \mathbb {N} ,\,\forall n\geq n_{0})$$

と書ける。

部分和

a ≠ 1 で、常に r = b/(1 – a) と書くことにすれば、最初の n 項（第 0-項から第 (n − 1)-項まで）の和は

$$S_{n}=\sum _{k=0}^{n-1}u_{k}=(u_{0}-r){\dfrac {1-a^{n}}{1-a}}+nr$$

で与えられる。

証明

前節の一般項の式に従えば、幾何数列の部分和の公式も用いて、

$${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n-1}u_{k}&=\sum _{k=0}^{n-1}(a^{k}(u_{0}-r)+r)\\&=(u_{0}-r)\left(\sum _{k=0}^{n-1}a^{k}\right)+nr\\&=(u_{0}-r){\frac {1-a^{n}}{1-a}}+nr.\end{aligned}}$$

これを用いて、連続する項の和も計算できる。上と同じ仮定の下 n > p として

$$\sum _{k=p}^{n-1}u_{k}=S_{n}-S_{p}=(u_{0}-r){\dfrac {a^{p}-a^{n}}{1-a}}+(n-p)r$$

となる。

収束性

一般項および幾何数列の収束条件から、算術幾何数列の極限も a の値（必要ならば u₀ – r の符号も）によって決定することができる（a ≠ 1 のとき r = b/(1 – a) と置いたことに注意）。

|a| < 1 のときは、数列の極限は初期値が何であろうと r である。つまり、この場合の収束性は、完全に初期条件に無関係である。このような特徴は（ロジスティック列のような）非線型漸化式が極めて初期条件に鋭敏であることと対照である。マルコフ鎖において、これは鎖が安定鎖に収束することを示す。

応用

算術幾何数列は、ある種の人口変動（変動率が一定）のモデリングとして現れる。例えば、常に 10 の流入と 5% の流出があることを ${\textstyle u_{n+1}=u_{n}+10-{\frac {5}{100}}\times u_{n}}$ と書ける。

算術幾何数列は返済計画にも現れる。資本 C を月率 t で借りて月額 M で分割払いする返済計画を考えると、n か月後に残った借金 R_n の成す数列 (R_n) は漸化式 ${\textstyle R_{n+1}=(1+t)R_{n}-M}$ を満たし、算術幾何数列を成す。

算術幾何数列は二状態マルコフ鎖にも現れる。推移確率行列 を

$${\begin{pmatrix}a&1-a\\1-b&b\end{pmatrix}}$$

とすると、関係式

$$(p_{n+1},q_{n+1})=(p_{n},q_{n}){\begin{pmatrix}a&1-a\\1-b&b\end{pmatrix}}$$

から ${\textstyle p_{n+1}=ap_{n}+(1-b)q_{n}}$ が得られ、一方 ${\textstyle q_{n}=1-p_{n}}$ であったから、代入して

$$p_{n+1}=(a+b-1)p_{n}+1-b$$

を得る。

関連項目

• 算術数列
• 幾何数列