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'''カタラン予想'''（ -よそう）とは、[[1844年]]にベルギー人の数学者・[[w:en:Eugène Charles Catalan|Eugène Charles Catalan]]が提唱した予想である。[[2002年]]に[[プレダ・ミハイレスク]]によりその完全な[[証明]]が行われた<ref>Mihăilescu(2004). これに先立ってBull. AMS誌の記事 Metsänkylä, Tauno (2003) でその概略が解説されている。</ref>。2005年に、自身で証明を簡単化した |
'''カタラン予想'''（ -よそう）とは、[[1844年]]にベルギー人の数学者・[[w:en:Eugène Charles Catalan|Eugène Charles Catalan]]が提唱した予想である。[[2002年]]に[[プレダ・ミハイレスク]]によりその完全な[[証明]]が行われた<ref>Mihăilescu(2004). これに先立ってBull. AMS誌の記事 Metsänkylä, Tauno (2003) でその概略が解説されている。</ref>。2005年に、自身で証明を簡単化した<ref>[http://www.uni-math.gwdg.de/preda/mihailescu-papers/catber.pdf REFLECTION, BERNOULLI NUMBERS AND THE PROOF OF CATALAN'S CONJECTURE](英語)</ref>。 |
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==内容== |
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次の[[ディオファントス方程式|不定方程式]]が存在する場合、 |
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:''x{{sup|a}}'' − ''y{{sup|b}}'' = 1 |
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:''x'' |
:''x'', ''a'', ''y'', ''b'' > 1 |
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上記を満たす[[自然数]]解の組み合わせは |
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:''x'' = 3, ''a'' = 2, ''y'' = 2, ''b'' = 3. |
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だけであるというものである。 |
だけであるというものである。 |
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==外部リンク== |
== 外部リンク == |
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*[http://www.maa.org/mathland/mathtrek_06_24_02.html Ivars Peterson's MathTrek] |
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*Metsänkylä, Tauno (2003). [http://www.ams.org/bull/2004-41-01/S0273-0979-03-00993-5/S0273-0979-03-00993-5.pdf Catalan's conjecture: another old Diophantine problem solved], ''Bull. (New Ser.) Amer. Math. Soc.'' '''41''' (1), 43–57. |
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==参考文献== |
== 参考文献 == |
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*Section D9 in Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory, 3rd edition, Springer-Verlag, 2004. |
*Section D9 in Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory, 3rd edition, Springer-Verlag, 2004. |
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*T. N. Shorey and R. Tijdeman, Exponetial Diophantine Equations, Cambridge Tracts in Mathematics, 87, Cambridge University Press, 1986. |
*T. N. Shorey and R. Tijdeman, Exponetial Diophantine Equations, Cambridge Tracts in Mathematics, 87, Cambridge University Press, 1986. |
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==関連項目== |
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*[[立方数]] |
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*[[平方数]] |
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2013年2月24日 (日) 04:34時点における版
カタラン予想（ -よそう）とは、1844年にベルギー人の数学者・Eugène Charles Catalanが提唱した予想である。2002年にプレダ・ミハイレスクによりその完全な証明が行われた[1]。2005年に、自身で証明を簡単化した[2]。
内容
次の不定方程式が存在する場合、
- xa − yb = 1
- x, a, y, b > 1
上記を満たす自然数解の組み合わせは
- x = 3, a = 2, y = 2, b = 3
だけであるというものである。
外部リンク
- Ivars Peterson's MathTrek
- Metsänkylä, Tauno (2003). Catalan's conjecture: another old Diophantine problem solved, Bull. (New Ser.) Amer. Math. Soc. 41 (1), 43–57.
参考文献
- Section D9 in Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory, 3rd edition, Springer-Verlag, 2004.
- T. N. Shorey and R. Tijdeman, Exponetial Diophantine Equations, Cambridge Tracts in Mathematics, 87, Cambridge University Press, 1986.
- P. Mihăilescu, "Primary Cyclotomic Units and a Proof of Catalan's Conjecture." J. reine angew. Math. 572 (2004), 167–195.
脚注
- ^ Mihăilescu(2004). これに先立ってBull. AMS誌の記事 Metsänkylä, Tauno (2003) でその概略が解説されている。
- ^ REFLECTION, BERNOULLI NUMBERS AND THE PROOF OF CATALAN'S CONJECTURE(英語)