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2009年7月12日 (日) 09:26時点における版
ランダムウォーク(英語: random walk)は、次に現れる位置が確率的に無作為(ランダム)に決定される運動である。乱歩(らんぽ)、酔歩(すいほ)とも。グラフなどで視覚的に測定することで観測可能な現象で、このとき運動の様子は一見して不規則なものになる。
ブラウン運動と共に、統計力学、量子力学、数理ファイナンス等の具体的モデル化に盛んに応用される。
数学的定義
Xn (n = 1, 2, ...) を独立かつ同分布な Rd 値確率変数族とする。この時、
を(d 次元)ランダムウォーク (d dimensional random walk, RW) という。
特に、Xn が Zd 値であり、かつ、
( は、第 j 成分が 1 の単位ベクトル)である時、Sn を(d 次元)単純ランダムウォーク (d dimensional simple random walk) という。
例
コイントスにおいて、コインを投げて「裏と表が出る確率」は、共に二分の一である。
数直線上の点について、コインを投げて表が出た場合に点を右(正の方向)に進め、裏が出た場合に点を左(負の方向)に進める試行(1次元のランダムウォーク)を無限回繰り返した場合に、点がある位置に存在する確率は正規分布で示される。
しかし、点が正の領域にいる時間の割合の分布は、の確率密度を持つ(負の領域にいる時間の割合は)。これはおよびで無限大に発散するグラフである。
すなわち、正・負のそれぞれの領域に半々ずつ点がいる確率よりも、どちらかの領域に多くいる確率の方がはるかに高い結果となる。
基本的性質
- 再帰性1 または 2 次元の単純ランダムウォークは再帰的であり、3 次元以上のランダムウォークは過渡的である。
- Donsker の定理の系Xn (n = 0, 1, ...) を平均 0 かつ分散 1 の独立かつ同分布な 1 次元ランダムウォークとし、で定義すると、各 t ≧ 0 に対して次が成立する。
応用
- レビのダスト
- 宇宙空間の星の分布のモデルとして考えられた点の分布。点の進む方向をランダム、進行距離の分布が冪級数で与えられるようなランダムウォーク。
- 自己回避ランダムウォーク
- 軌跡が交差しないランダムウォーク。理論的な解析は困難。高分子の幾何学的構造、海岸線などのモデルとして利用されている。