エネルギー・運動量テンソル

エネルギー・運動量テンソル（エネルギー・うんどうりょうテンソル、stress-energy tensor または stress-energy-momentum tensor）とは、質量密度・エネルギー流束・運動量を表現する物理量であり、二階のテンソル $T^{\mu \nu }\,$ として表現される。一般相対性理論におけるアインシュタイン方程式では、物質分布を示す右辺の項として登場し、重力を生じさせる源(source term)としての意味を持つ。アインシュタイン方程式で、真空の状況を考える時は、 $T^{\mu \nu }=0\,$ とすればよい。

エネルギー・運動量テンソル $T^{\mu \nu }\,$ は、定義から明らかに対称テンソルである。 以下では、時間座標を0成分とし、空間座標を1,2,3成分とする添字を使い、計量(metric)の符号は$(-,+,+,+)\,$とする。また、アインシュタインの縮約記法を用いる。

共変微分をもちいて

$T^{\mu \nu }{}_{;\mu }=0\,$

とすれば、これは、共変形式のエネルギー・運動量保存則を表すことになる。

定義

エネルギー・運動量テンソルは時空の併進対称性から導かれる。 ラグランジアン密度が${\mathcal {L}}={\mathcal {L}}(\varphi ,\varphi _{,\nu })$と書かれているとき、時空の併進

$x\to x'=x+\xi$

に対して、場は

$\varphi (x)\to \varphi (x')=\exp[{\frac {i}{\hbar }}\xi ^{\mu }p_{\mu }]\varphi (x)$

と変換される。この変換の生成子 p は運動量演算子である。

$p_{\mu }={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}$

エネルギー・運動量テンソルは

• $T_{\mu }^{\nu }:={\frac {\delta {\mathcal {L}}}{\delta \varphi _{,\nu }}}{\frac {i}{\hbar }}p_{\mu }\varphi -\delta _{\mu }^{\nu }{\mathcal {L}}$

で定義される。

各成分の意味

応力エネルギーテンソル

• 時間-時間成分、即ち $T^{00}\,$ は、エネルギー密度である。
• 時間-空間成分、即ち $T^{0j}\,$ は、$x^{j}\,$の方向へのエネルギーの流れである。
• 空間-時間成分、即ち $T^{i0}\,$ は、i-成分の運動量密度である。
• 空間成分、即ち $T^{ij}\,$ は、$x^{j}\,$の方向への i-成分の運動量の流れである。

完全流体近似のエネルギー・運動量テンソル

物質の平均自由行程が全体のスケールに比べて短いとき、流体近似が可能である。さらに、 流体の静止系に乗ったときに、圧力が等方的であり（応力テンソルが対角的であり）、粘性のない場合、 完全流体として考えることができる。このとき、一般に次のように仮定することができる。

$T^{\mu \nu }=(\rho +p)u^{\mu }u^{\nu }+g^{\mu \nu }p\,$

$\rho ,p\,$ は、静止系で観測したときの質量エネルギー密度と圧力であり、 $g^{\mu \nu },u^{\mu }\,$ は、計量テンソル・流体の4元速度ベクトル（共動座標系ならば、$u^{\mu }=(1,0,0,0)\,$、流体速度を$v^{i}\,$ と観測する場合には$u^{\mu }=(1,v^{i})\,$）である。この仮定は、宇宙モデルを論じるときに通常用いられる。

非相対論的な場合、$g_{\mu \nu }\approx \eta _{\mu \nu },\,|v^{i}|\ll 1,\,p\ll \rho \,$ となるから、行列形式で成分を書くと

$T^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}\rho &\rho v_{x}&\rho v_{y}&\rho v_{z}\\\rho v_{x}&p+\rho v_{x}^{2}&\rho v_{x}v_{y}&\rho v_{x}v_{z}\\\rho v_{y}&\rho v_{x}v_{y}&p+\rho v_{y}^{2}&\rho v_{y}v_{z}\\\rho v_{z}&\rho v_{x}v_{z}&\rho v_{y}v_{z}&p+\rho v_{z}^{2}\end{pmatrix}}$

となる。この空間成分は、古典的流体力学の応力テンソル

$\pi ^{ij}=\rho v^{i}v^{j}+p\delta ^{ij}\,$

と一致する。

電磁場のエネルギー・運動量テンソル

電磁場のエネルギー・運動量テンソルは以下で定義される量である。

$T^{\mu \nu }={\frac {1}{4\pi }}(F^{\mu \lambda }{F^{\nu }}_{\lambda }-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }F^{\kappa \lambda }F_{\kappa \lambda })$

$T^{00}\,$ はエネルギー密度、$T^{0j}\,$ 及び$T^{i0}\,$ はポインティング・ベクトル、$F^{ij}\,$ はマクスウェルの応力テンソルである。

ミンコフスキー時空では、行列形式で成分を書くと

$F^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&E_{x}&E_{y}&E_{z}\\-E_{x}&0&B_{z}&-B_{y}\\-E_{y}&-B_{z}&0&B_{x}\\-E_{z}&B_{y}&-B_{x}&0\end{pmatrix}}$

$F_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-E_{x}&-E_{y}&-E_{z}\\E_{x}&0&B_{z}&-B_{y}\\E_{y}&-B_{z}&0&B_{x}\\E_{z}&B_{y}&-B_{x}&0\end{pmatrix}}$

である。

関連語句

• 一般相対性理論 - アインシュタイン方程式