ヤコビの二平方定理

ヤコビの二平方定理 (Jacobi's two square theorem) は、自然数を高々二個の平方数の和で表す方法の数を与える定理。名称はドイツの数学者ヤコビに由来する。

自然数Nを高々二個の平方数の和で表す方法の数は

$r_{2}(N)=4\sum _{2{\nmid }d{\mid }N}(-1)^{\frac {d-1}{2}}$

で与えられる。但し、シグマ記号は2で整除されないNの約数（1とNを含む）について和を取ることを表す。言い替えれば、自然数Nを高々二個の平方数の和で表す方法の数は、Nの約数のうち、4を法にして1と合同になるものの個数から3と合同になるものの個数を引いたものの4倍に等しい。

具体例

例えば、

$r_{2}(25)=4\left((-1)^{\frac {1-1}{2}}+(-1)^{\frac {5-1}{2}}+(-1)^{\frac {25-1}{2}}\right)=12$

であるが、実際に25を高々二個の平方数の和で表す方法は

${\begin{aligned}25&=(\pm 5)^{2}+0^{2}\\&=0^{2}+(\pm 5)^{2}\\&=(\pm 4)^{2}+(\pm 3)^{2}\\&=(\pm 3)^{2}+(\pm 4)^{2}\\\end{aligned}}$

であり、符号と順序を区別すれば12個になる。

証明

テータ関数の比は楕円関数（二重周期を持つ有理型関数）になり、楕円関数の導関数も楕円関数になるから、

${\begin{aligned}F(v)&={\frac {\partial }{\partial {v}}}\left({\frac {\vartheta _{1}(v,\tau )}{\vartheta _{2}(v,\tau )}}\right)={\frac {\vartheta _{1}'(v,\tau )\vartheta _{2}(v,\tau )-\vartheta _{1}(v,\tau )\vartheta _{2}'(v,\tau )}{\vartheta _{2}(v,\tau )^{2}}}\\G(v)&=\left({\frac {\vartheta _{3}(v,\tau )}{\vartheta _{2}(v,\tau )}}\right)\left({\frac {\vartheta _{4}(v,\tau )}{\vartheta _{2}(v,\tau )}}\right)={\frac {\vartheta _{3}(v,\tau )\vartheta _{4}(v,\tau )}{\vartheta _{2}(v,\tau )^{2}}}\\\end{aligned}}$

$F(v)$と$G(v)$は共に楕円関数である。且つ、

${\begin{aligned}&\vartheta _{1}'\left(v+{\frac {1}{2}}+{\frac {\tau }{2}}\right)=\vartheta _{2}'\left(v+{\frac {1}{2}}+{\frac {\tau }{2}}\right)=0\\&\vartheta _{1}'\left(v+{\frac {\tau }{2}}\right)=\vartheta _{2}'\left(v+{\frac {\tau }{2}}\right)=0\\\end{aligned}}$

であるから、$G(v)=0$となるところにおいて悉く$F(v)=0$となり、リウヴィルの定理によって$F(v)/G(v)$は定数である。$v\to 0$として

${\begin{aligned}&\vartheta _{1}(0,\tau )=0\\&\vartheta _{1}'(0,\tau )=\pi \vartheta _{2}(0,\tau )\vartheta _{3}(0,\tau )\vartheta _{4}(0,\tau )\\\end{aligned}}$

により、$F(0)=\pi \vartheta _{2}(0,\tau )^{2}G(0)$を得る。従って、

$F\left(v\right)={\frac {\pi \vartheta _{2}(0,\tau )^{2}\vartheta _{3}(v,\tau )\vartheta _{4}(v,\tau )}{\vartheta _{2}(v,\tau )^{2}}}$

である。右辺のテータ関数を無限乗積に展開し、$v={\tfrac {1}{4}}$を代入し、$q=e^{{\pi }i\tau }$と書くと

${\begin{aligned}F\left({\tfrac {1}{4}}\right)&={\frac {\pi \left(2q^{1/4}\right)^{2}}{\left(2q^{1/4}\right)^{2}\cos ^{2}{\tfrac {\pi }{4}}}}\prod _{m=1}^{\infty }{\frac {(1-q^{2m})^{2}(1+q^{2m})^{4}(1-q^{2m})(1+iq^{2m-1})(1-iq^{2m-1})(1-q^{2m})(1-iq^{2m-1})(1+iq^{2m-1})}{(1-q^{2m})^{2}(1+iq^{2m})^{2}(1-iq^{2m})^{2}}}\\&=2\pi \prod _{m=1}^{\infty }{\frac {(1-q^{2m})^{2}(1+q^{2m})^{4}(1+iq^{2m-1})^{2}(1-iq^{2m-1})^{2}}{(1+iq^{2m})^{2}(1-iq^{2m})^{2}}}\\&=2\pi \prod _{m=1}^{\infty }{\frac {(1-q^{4m})^{2}(1+q^{2m})^{2}(1+q^{4m-2})^{2}}{(1+q^{4m})^{2}}}\\&=2\pi \prod _{m=1}^{\infty }{\frac {(1-q^{4m})^{2}(1+q^{4m})^{2}(1+q^{4m-2})^{2}(1+q^{4m-2})^{2}}{(1+q^{4m})^{2}}}\\&=2\pi \prod _{m=1}^{\infty }(1-q^{4m})^{2}(1+q^{4m-2})^{4}\\\end{aligned}}$

となり、ヤコビの三重積の公式により

${\begin{aligned}F\left({\tfrac {1}{4}}\right)&=2\pi \left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{2n^{2}}\right)^{2}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{2(n^{2}+m^{2})}\end{aligned}}$

となる。一方、

${\begin{aligned}&\vartheta _{2}\left(v\right)=\vartheta _{1}\left({\tfrac {1}{2}}-v\right)\\&\vartheta _{2}'\left(v\right)=\vartheta _{1}'\left({\tfrac {1}{2}}-v\right)\\\end{aligned}}$

であるから

${\begin{aligned}F\left({\tfrac {1}{4}}\right)&={\frac {\vartheta _{1}'\left({\tfrac {1}{4}}\right)\vartheta _{2}\left({\tfrac {1}{4}}\right)-\vartheta _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)\vartheta _{2}'\left({\tfrac {1}{4}}\right)}{\vartheta _{2}\left({\tfrac {1}{4}}\right)^{2}}}={\frac {2\vartheta _{1}'\left({\tfrac {1}{4}}\right)}{\vartheta _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)}}\\\end{aligned}}$

であり、テータ関数の対数微分の公式により

${\begin{aligned}F\left({\tfrac {1}{4}}\right)&=2\pi \cot {\frac {\pi }{4}}+8\pi \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{2n}}{1-q^{2n}}}\sin {\frac {\pi {n}}{2}}\\&=2\pi +8\pi \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {q^{2(2k+1)}}{1-q^{2(2k+1)}}}(-1)^{k}\qquad (n\to 2k+1)\\&=2\pi +8\pi \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\sum _{j=1}^{\infty }q^{2j(2k+1)}\\\end{aligned}}$

である。以上により、

${\frac {F\left({\tfrac {1}{4}}\right)}{2\pi }}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{2(n^{2}+m^{2})}=1+4\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\sum _{j=1}^{\infty }q^{2j(2k+1)}$

が得られ、$q^{2N}$の係数を比較することにより、

$r_{2}(N)=4\sum _{2{\nmid }d{\mid }N}(-1)^{\frac {d-1}{2}}$

が得られる。

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