ムーファン・ループ

数学において、ムーファン・ループ（、（英: Moufang loop ）とは、特別な種類の代数構造である。多くの点で群に似ているが、必ずしも結合法則を満たさない。ムーファン・ループは、Ruth Moufang (1935) によって導入された。滑らかな^{[訳語疑問点]}ムーファン・ループは、関連する代数であるマルツェフ代数（英語版）がある。それはリー群に関連するリー代数があるのと類似している。^{[原文 1]}

定義

ムーファン・ループ はループ $Q$ で、任意の $x$ , $y$ , $z$ に対して、以下の4つの同値な恒等式を満たすものである ( $Q$ の二項演算は並置記法^{[訳語疑問点]}で記述する)：

$x(y(xz))=((xy)x)z\quad$ … (N2)
$y(x(zx))=((yx)z)x\quad$ … (N1)
$(xy)(zx)=x((yz)x)\quad$ … (M1)
$(xy)(zx)=(x(yz))x\quad$ … (M2)

以後の説明の便宜上、式の後ろにつけた番号は、参考文献 Kunen (1995) に倣った。

例

任意の群は、結合的であるから、従ってムーファン・ループである。
非ゼロな八元数は、乗算に関して、非結合的なムーファン・ループを成す。

性質

結合性

ムーファンループは (群とは異なり) 必ずしも結合的ではない ^{[注釈 1]}。ムーファン恒等式は、結合法則の弱い形式と見なすことができる。ムーファン恒等式に適当な値を代入することにより、以下の式が得られる：

$x(xz)=(xx)z$ (式 (N2) において y := e を代入)
$y(xx)=(yx)x$ (式 (N1) において z := e を代入)
$x(yx)=(xy)x$ (式 (N2) において z := e を代入 or (N1) において y := e を代入 or (M1) において z := e を代入 or (M2) において y := e を代入)

ムーファンの定理は、ムーファン・ループにおける三つの元 x, y, z が結合法則 $(xy)z=x(yz)$ に従う場合、結合的な部分ループを生成すると述べている。この定理の系として、ムーファン・ループは、非結合的であると言える。すなわち、ムーファン・ループの任意の二つの元によって生成される部分ループは、結合的であり、従って群になる^{[訳語疑問点]} ^{[原文 2]}。

左右の乗算

可逆性

ラグランジュ性

ムーファン準群

このセクションでは、ループではなく準群の場合にどうなるか考察する。準群がムーファン恒等式の内の一つを満たす場合は、必ず単位元が存在することが示される^[1]。以下に、証明の一部 (Theorem 2.2) だけ述べる。Theorem 2.3 はより難しいので、参考文献を見よ。

$Q$ を準群とする。ムーファンの恒等式の内 (M1) が成り立つと仮定する。任意の $a\in Q$ を固定する。準群の定義によって、 $ae=a$ を満たす $e\in Q$ がただ一つ存在する。この時、任意の $x\in Q$ に対して、 $(xa)x=(x(ae))x=(xa)(ex)$ が成り立つ^{[訳注 1]}。よって、準群の定義 (消去律) によって $x=ex$ が成り立つ。従って、 $e$ は左単位元である。

次に、再び準群の定義により、 $be=e$ を満たす $b\in Q$ がただ一つ存在する。この時、 $(yb)e=(e(yb))e=(ey)(be)=ye$ が成り立つ^{[訳注 2]}。再び準群の簡約律より、 $yb=y$ が成り立つ。従って、 $b$ は右単位元である^{[訳注 3]}。さらに、 $b=eb=e$ であるから、 $e$ は(両側)単位元である。

(M2) $(xy)(zx)=x((yz)x)$ だけを仮定する場合も、(式を鏡のように反転させて) 同様に証明できる。この場合は $a\in Q$ に対して、 $ea=a$ を満たす $e$ を取ると、 $x=xe\quad \forall x\in Q$ 、つまり $e$ は右単位元であることが言える。先ほどと逆に $eb=e$ を満たす $b$ を取って、同じことをすれば、 $e=b$ が左単位元になることも言えるので、両側単位元である。

Open problems

脚注

[脚注の使い方]

注釈

^ むしろ、結合的なムーファンループは、すなわち群である

訳注

^ 最初の等号は、ae = a を代入、二番目の等号は (M1): $(xy)(zx)=(x(yz))x$ において $x:=x,y:=a,z:=e$ として適用した
^ 最初の等号は $e$ が左単位元だから、二番目の等号は仮定した (M1) において $x:=e,y:=y,z:=b$ として適用、最後の等号は $e$ 左単位元であることと、 $be=e$ による
^ 参考文献 Kunen, K. (1995) の証明を和訳、記載したが、右単位元であることの証明は、Wikipedida 英語版 en:Moufang_loop#Moufang_quasigroups にある証明の方が簡潔である

^ Smooth Moufang loops have an associated algebra, the Malcev algebra, similar in some ways to how a Lie group has an associated Lie algebra.
^ A corollary of this is that all Moufang loops are di-associative (i.e. the subloop generated by any two elements of a Moufang loop is associative and therefore a group).

出典

^ Kunen, K. (1995) https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.52.5356, p2, Theorem 2.2 および 2.3

参考文献

V. D. Belousov (2001), “Moufang loop”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
Goodaire, Edgar G.; May, Sean; Raman, Maitreyi (1999). The Moufang loops of order less than 64. Nova Science Publishers. ISBN 0-444-82438-3
Gagola III, Stephen (2011). “How and why Moufang loops behave like groups”. Quasigroups and Related Systems 19: 1–22.
Grishkov, Alexander; Zavarnitsine, Andrei (2005). “Lagrange's theorem for Moufang loops”. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 139: 41–57. doi:10.1017/S0305004105008388.
Kunen, K. (1996). “Moufang quasigroups”. Journal of Algebra 183 (1): 231–4. doi:10.1006/jabr.1996.0216. https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.52.5356
Moufang, R. (1935), “Zur Struktur von Alternativkörpern”, Math. Ann. 110: 416–430, doi:10.1007/bf01448037, https://eudml.org/doc/159732
Romanowska, Anna B.; Smith, Jonathan D. H. (1999). Post-Modern Algebra. Wiley-Interscience. ISBN 0-471-12738-8

外部リンク

LOOPS package for GAP This package has a library containing all nonassociative Moufang loops of orders up to and including 81.
Moufang loop - PlanetMath.org（英語）

[2] むしろ、結合的なムーファンループは、すなわち群である

[5] 最初の等号は、ae = a を代入、二番目の等号は (M1): $(xy)(zx)=(x(yz))x$ において $x:=x,y:=a,z:=e$ として適用した

[6] 最初の等号は $e$ が左単位元だから、二番目の等号は仮定した (M1) において $x:=e,y:=y,z:=b$ として適用、最後の等号は $e$ 左単位元であることと、 $be=e$ による

[7] 参考文献 Kunen, K. (1995) の証明を和訳、記載したが、右単位元であることの証明は、Wikipedida 英語版 en:Moufang_loop#Moufang_quasigroups にある証明の方が簡潔である

[1] Smooth Moufang loops have an associated algebra, the Malcev algebra, similar in some ways to how a Lie group has an associated Lie algebra.

[3] A corollary of this is that all Moufang loops are di-associative (i.e. the subloop generated by any two elements of a Moufang loop is associative and therefore a group).

[Kunen,_K._(1996).-4] Kunen, K. (1995) https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.52.5356, p2, Theorem 2.2 および 2.3

[原文 1]

[注釈 1]

[原文 2]

[1]

[訳注 1]

[訳注 2]

[訳注 3]

定義

例

性質

結合性