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q-類似(きゅーるいじ、英: q-analog, q-analogue)とは、理論に q → 1 の極限で、元の理論に一致するように径数 q を導入するような拡張のことをいう。q-拡張(英: q-extension)などとも呼ばれる。
q-数[編集]
最も基本的な q-数 [n]q とは、自然数 n の q-類似であって、q → 1 の極限で [n]q → n となるように
![{\displaystyle [n]_{q}:={\frac {1-q^{n}}{1-q}}=\sum _{k=0}^{n-1}q^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e515c21168e4e9e31d2d40f8799d6b65db991338)
と定義される。ただし、文献によっては、とくに量子群の文脈では、
で不変な
![{\displaystyle [n]_{q}:={\frac {q^{n}-q^{-n}}{q-q^{-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fcdab21a36455e7759a4c63ef0c067844d776e9)
あるいは
![{\displaystyle [n]_{q}:={\frac {q^{n/2}-q^{-n/2}}{q^{1/2}-q^{-1/2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a899b5ed6b37ec7e45c1999211bcd41699f112b)
と定義される。この記事では最初の定義を用いるが、他の定義でも後述の q-階乗やq-二項係数は q-数を用いて同様に定義される。
q-階乗[編集]
またq-階乗 [n]q! は、q-数によって
![{\displaystyle [n]_{q}!:=\prod _{k=1}^{n}[k]_{q}={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79bcb1329e46404e91eb8f42e874dab2abff9e30)
と定義される。ただし (q; q)n はq-ポッホハマー記号を表す。
このとき Sn を n 次の対称群、inv(σ) を置換 σ の転倒数として、
![{\displaystyle [n]_{q}!=\sum _{\sigma \in S_{n}}q^{\operatorname {inv} (\sigma )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aec60de5bb9a95e6cd7832d9e2e1a523fa8b84f5)
が成り立つ。これは
の極限で、通常の階乗
が
個のものを並べる順列の総数を表すことに対応している。
また有限体 Fq 上の一般線型群 GL(n, q) の位数は
![{\displaystyle \vert \operatorname {GL} (n,q)\vert =[n]_{q}!(q-1)^{n}q^{\binom {n}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6255eb628ae49cff95525f85e4d9ddf6b01e6bee)
と表せる。
q-二項係数[編集]
q-二項係数は、二項係数の q-類似で、
![{\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}:={\frac {[n]_{q}!}{[n-k]_{q}![k]_{q}!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/517e00b34b6766ab5c0bc138b0b4742cb7851fa9)
によって定義される。q が素数のべきのとき、q-二項係数は有限体 Fq 上の n 次元線型空間内における k 次元部分空間の数に等しい。
より一般に q-多項係数は n = k1 + … + km のとき
![{\displaystyle {\binom {n}{k_{1},\dotsc ,k_{m}}}_{q}={\frac {[n]_{q}!}{[k_{1}]_{q}!\dotsm [k_{m}]_{q}!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cee984c7a44ff7dd433b4264518062a19eb6a8f)
によって定義される。
このとき
![{\displaystyle {\binom {n}{k_{1},\dotsc ,k_{m}}}_{q}={\binom {n}{k_{1}}}_{q}{\binom {n-k_{1}}{k_{2}}}_{q}\dotsm {\binom {n-k_{1}-\dotsb -k_{m-1}}{k_{m}}}_{q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fc094dc2a0c853eab04f7ec2395fb6817027539)
![{\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}={\binom {n-1}{k}}_{q}+q^{n-k}{\binom {n-1}{k-1}}_{q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3426e17bb88c02f75d6693dd41ec432a9bd7f925)
のようなよく知られた等式の類似が成り立つ。
q-微分[編集]
q-微分は微分の q-類似で、任意の関数 ƒ(x) について q-微分を
![{\displaystyle d_{q}(f(x))=f(qx)-f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99bdb53c0267834af5d354abb2f1f4c60b78e1ab)
によって定義する。さらに導関数の q-類似である q-導関数は
![{\displaystyle D_{q}(f(x))={\frac {d_{q}(f(x))}{d_{q}(x)}}={\frac {f(qx)-f(x)}{(q-1)x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd2cf9fe82dbb88ac31a834450dbc113897cb7b8)
によって定義される[2]。
参考文献[編集]
関連項目[編集]