乗法的関数

数論における乗法的関数（じょうほうてきかんすう、英: multiplicative function）とは、正の整数 n の数論的関数 f(n) であって、f(1) = 1 であり、a と b が互いに素であるなら

f(ab) = f(a) f(b)

が成り立つようなもののことである。

数論的関数 f(n) が、a と b が互いに素でない場合においてもつねに、f(1) = 1、f(ab) = f(a) f(b) が成り立つ時、完全乗法的であると呼ばれる。

例

• gcd(n,k) : nとkの最大公約数（k を固定して、n の関数とみなした場合）
• 任意の整数 k に対する $n^{k}$
• メビウス関数: $\mu (n)$
  • $\mu (n)={\begin{cases}(-1)^{r}&{\text{(if }}n{\text{ is square-free and a product of distinct }}r{\text{ prime numbers)}}\\0&({\text{otherwise}})\end{cases}}$
• 約数関数: n の約数の個数を表す $d(n)$
  • $d(n)=\sum _{d|n,\ d>0}\!\!\!\!1$
• k乗約数和関数: $\sigma _{k}(n)$
  • $\sigma _{k}(n)=\sum _{d|n,\ d>0}\!\!\!\!d^{k}$
• n の正の奇数の約数の個数を表す $\tau _{o}(n)$
  • $\tau _{o}(n)=\sum _{2\nmid d|n,\ d>0}\!\!\!\!\!1$
• n の正の奇数の約数の和を表す $\sigma _{o}(n)$
  • $\sigma _{o}(n)=\sum _{2\nmid d|n,\ d>0}\!\!\!\!\!d$
• オイラー関数: $\scriptstyle \varphi (n)$
  • $\varphi (n)=\#\{k\mid k\geq 1,\ (k,n)=1\}$
• ディリクレ指標: $\chi (n)$
• リウヴィルのラムダ関数: $\lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}$（ただし、$\Omega (n)$はn の素因数の重複も含めた総数）
• ラマヌジャンの和関数:

$c_{q}(n)=\!\!\sum _{1\leq h\leq q,\ (h,q)=1}\!\!\!\!\!\!\!\!\!e^{2\pi ihn/q}$

• ラマヌジャンの τ 関数: $\tau (n)$
  • $\tau (n)$ は、$x\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})^{24}$ の n 次の係数
• 任意の正整数 k に対する、$k^{\omega (n)}$（ただし、$\omega (n)$はn の異なる素因数の総数）

参考文献

• Weisstein, Eric W. "Multiplicative function". mathworld.wolfram.com (英語).

関連項目

• 加法的関数