エルミート多項式

エルミート多項式（-たこうしき、英: Hermite polynomial）は、常微分方程式

$\left({\frac {d^{2}}{dx^{2}}}-2x{\frac {d}{dx}}+2n\right)H_{n}(x)=0$

を満たす多項式$H_{n}(x)$のことを言う。 またこの微分方程式はスツルム＝リウヴィル型微分方程式の一つである。

エルミート多項式は重み関数を$e^{-x^{2}}$として、次の直交性を持つ。

$\int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}2^{n}n!\delta _{m,n}$

ここで$\delta _{m,n}$はクロネッカーのデルタである（$m=n$のとき1, それ以外では0）。

ロドリゲスの公式で表すと、

$H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}$

これにより、エルミート多項式は以下の漸化式を満たすことがわかる。

${\begin{aligned}H_{n+1}(x)&=2xH_{n}(x)-2nH_{n-1}(x)\\{\frac {d}{dx}}H_{n}(x)&=2nH_{n-1}(x)\\{\frac {d}{dx}}H_{n}(x)&=2xH_{n}(x)-H_{n+1}(x)\end{aligned}}$

母関数は

$S(x,y)=\exp(-y^{2}+2xy)=\sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {y^{n}}{n!}}$

である。周回積分で表すと

$H_{n}(x)=\oint _{C}dz~{\frac {\exp(-z^{2}+2xz)}{z^{n+1}}}$

ここで $C$ は原点を囲む反時計回りの経路である。

陽に表せば

$H_{n}(x)=n!\sum _{m=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {(-1)^{m}}{m!(n-2m)!}}(2x)^{n-2m}$

である。ここで$\lfloor \cdot \rfloor$は床関数である。 最初の幾つかを挙げると、

${\begin{aligned}H_{0}(x)&=1\\H_{1}(x)&=2x\\H_{2}(x)&=4x^{2}-2\\H_{3}(x)&=8x^{3}-12x\\H_{4}(x)&=16x^{4}-48x^{2}+12\\H_{5}(x)&=32x^{5}-160x^{3}+120x\end{aligned}}$

エルミート多項式は量子化された調和振動子の波動関数の一部としてその姿を現す。 また、正規関数のフーリエ共役関数もまた正規関数であることを示す。

参考文献

• 伏見康治『確率論及統計論』河出書房、1943年。ISBN 9784874720127。 

関連項目

• シャルル・エルミート
• スツルム＝リウヴィル型微分方程式
• 特殊関数