エルミート多項式

エルミート多項式（-たこうしき）は、常微分方程式

$\left({\frac {d^{2}}{dx^{2}}}-2x{\frac {d}{dx}}+2n\right)H_{n}(x)=0$$\left( \frac{d^2}{dx^2}-2x\frac{d}{dx}+2n\right) H_n(x)=0$

を満たす多項式$H_{n}(x)$$H_n(x)$のことを言う。 またこの微分方程式はスツルム＝リウヴィル型微分方程式の一つである。

エルミート多項式は重み関数を$e^{-x^{2}}$$e^{{-x^{2}}}$として、次の直交性を持つ。

$\int _{-\infty }^{\infty }H_{n}(x)H_{m}(x)e^{-x^{2}}dx=\delta _{m,n}2^{n}{\sqrt {\pi }}n!$$\int^\infty_{-\infty}H_n(x)H_m(x)e^{-x^2}dx=\delta _{m,n}2^n \sqrt{\pi}n!$

ロドリゲスの公式を用いれば、

$H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}$$H_n(x)=(-1)^ne^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}$

と表記できる。 これにより、エルミート多項式は以下の漸化式を満たすことがわかる。

$H_{n+1}(x)=2xH_{n}(x)-2nH_{n-1}(x)$$H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-2nH_{n-1}(x)$

$H'_{n}(x)=2nH_{n-1}(x)$$H'_n(x)=2nH_{n-1}(x)$

$H'_{n}(x)=2xH_{n}(x)-H_{n+1}(x)$$H'_n(x)=2xH_n(x)-H_{n+1}(x)$

母関数は

$S(x,y)=e^{-y^{2}+2xy}=\sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {y^{n}}{n!}}$$S(x,y)=e^{-y^2+2xy}=\sum^\infty_{n=0}H_n(x)\frac{y^n}{n!}$

である 。

一般項は

$H_{n}(x)=n!\sum _{m=0}^{[{\frac {n}{2}}]}{\dfrac {(-1)^{m}(2x)^{n-2m}}{m!(n-2m)!}}$$H_n(x)=n!\sum_{m=0}^{[\frac{n}{2}]}\dfrac{(-1)^m(2x)^{n-2m}}{m!(n-2m)!}$

である。ここで使っている$\left[{\frac {n}{2}}\right]$$\left[\frac{n}{2}\right]$は、次のような数である。

$\left[{\dfrac {n}{2}}\right]={\Bigg \{}{\begin{matrix}{\dfrac {n}{2}}&(n:even)\\{\dfrac {n-1}{2}}&(n:odd)\end{matrix}}$$\left[\dfrac{n}{2}\right]=\Bigg\{\begin{matrix}\dfrac{n}{2} & (n:even) \\ \dfrac{n-1}{2} & (n:odd) \end{matrix}$

エルミート多項式は量子化された調和振動子の波動関数の一部としてその姿を現す。 また、正規関数のフーリエ共役関数が正規関数であることを示す。

関連項目

• シャルル・エルミート
• スツルム＝リウヴィル型微分方程式
• 特殊関数