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2018年3月8日 (木) 05:34時点における版

論理学において、記号は広く論理的表現を表すのに用いられている。以下の表は多くの一般的な記号について、それらの名称と読み方、数学における関連分野について記している。加えて、非形式的な定義と単純な例を。そしてUnicodeにおける符号位置や文字参照、LaTeXで使用可能なコマンドを記している。

基礎的な論理記号

記号

名称 / 読み方 / 分野
説明
例

Unicode

文字参照

実体参照

LaTeXコマンド

⇒

実質含意

含む; もし〜ならば

命題論理, ハイティング代数

「

A \Rightarrow B

」は、

A

が偽または

B

が真であるときのみ、真となる。

「→」は「⇒」と同じ意味である。（またこの記号は関数の定義域と終集合を表す。詳しくは数学記号の表を見よ）

「⊃」も「⇒」と同じ意味である。（また上位集合も意味する）

x = 2 \Rightarrow x 2 = 4

は真である。ただし

x 2 = 4 \Rightarrow x = 2

は一般に偽である（ここで

x

は -2 の可能性もある）。

U+21D2

&#8658;

&rArr;

  
        ⇒
      
    {\displaystyle \Rightarrow }
  
 \Rightarrow

        ⟹
        
    {\displaystyle \implies }
  
 \implies

→

U+2192

&#8594;

&rarr;

  
        →
      
    {\displaystyle \to }
  
 \to

⊃

U+2283

&#8835;

&sup;

  
        ⊃
      
    {\displaystyle \supset }
  
 \supset

⇔

実質等値	〜のとき、かつそのときに限り; iff;	命題論理
「 $A \Leftrightarrow B$ 」は、 $A$ と $B$ が共に真、または共に偽のときのみ真となる。
$x + 5 = y + 2 \Leftrightarrow x + 3 = y$

U+21D4

&#8660;

&hArr;

  
        ⇔
      
    {\displaystyle \Leftrightarrow }
  
 \Leftrightarrow

        ⟺
        
    {\displaystyle \iff }
  
 \iff

≡

U+2261

&#8801;

&equiv;

  
        ≡
      
    {\displaystyle \equiv }
  
 \equiv

↔

U+2194

&#8596;

&harr;

  
        ↔
      
    {\displaystyle \leftrightarrow }
  
 \leftrightarrow

¬

否定	〜ではない	命題論理
言明「 $\neg A$ 」は $A$ が偽のときのみ真となる。演算子の上に置かれたスラッシュは、否定記号 ¬ が演算子の前に置かれているのと同じく、その演算子の否定を意味する。
$\neg(\neg A) \Leftrightarrow A$ $x \neq y \Leftrightarrow \neg(x = y)$

U+00AC

&#172;

&not;

  
        ¬
      
    {\displaystyle \lnot }
  
 \lnot

        ¬
      
    {\displaystyle \neg }
  
 \neg

˜

U+02DC

&#732;

&tilde;

  
              ~
            
    {\displaystyle {\tilde {}}}
  
 \tilde{}

!

U+0021

&#33;

&excl;

記号

名称 / 読み方 / 分野
説明
例

Unicode

文字参照

実体参照

LaTeXコマンド

∧

論理積	かつ (and)	命題論理、ブール代数
言明「 $A \land B$ 」は、 $A$ と $B$ が共に真であるときのみ、真である、他の場合は偽。
$n < 4 \land n > 2 \Leftrightarrow n = 3$ （ $n$ が自然数であるとき）

U+2227

&#8743;

&and;

  
        ∧
      
    {\displaystyle \land }
  
 \land

        ∧
      
    {\displaystyle \wedge }
  
 \wedge

·

U+00B7

&#183;

&middot;

  
        ⋅
      
    {\displaystyle \cdot }
  
 \cdot

⋅

U+22C5

&#8901;

&sdot;

&

U+0026

&#38;

&amp;

  
        &
      
    {\displaystyle \&}
  
 \&

∨

論理和	または (or)	命題論理、ブール代数
言明「 $A \lor B$ 」は、 $A$ または $B$ のいずれか（または両方）が真のとき、真である; そして両方が偽のときは、偽。
$n \geq 4 \lor n \leq 2 \Leftrightarrow n \neq 3$ （ $n$ が自然数であるとき）

U+2228

&#8744;

&or;

  
        ∨
      
    {\displaystyle \lor }
  
 \lor

        ∨
      
    {\displaystyle \vee }
  
 \vee

+

U+002B

&#43;

-

∥

U+2225

&#8741;

-

  
        ∥
      
    {\displaystyle \parallel }
  
 \parallel

⊕

排他的論理和	xor	命題論理、ブール代数
言明「 $A \oplus B$ 」は、 $A$ または $B$ のいずれか（両方ではない）が真のとき、真となる。「 $A ⊻ B$ 」も意味は同じ。
$(\neg A) \oplus A$ は常に真である。 $A \oplus A$ は常に偽である。

U+2295

&#8853;

&oplus;

  
        ⊕
      
    {\displaystyle \oplus }
  
 \oplus

⊻

U+22BB

&#8891;

-

  
        ⊻
      
    {\displaystyle \veebar }
  
 \veebar

⊤

トートロジー	トップ	命題論理、ブール代数
言明「 $⊤$ 」は無条件に真である。
$A \Rightarrow ⊤$ は常に真。

U+22A4

&#8868;

-

  
        ⊤
      
    {\displaystyle \top }
  
 \top

T

U+0054

&#84;

-

1

U+0031

&#49;

-

⊥

矛盾	ボトム	命題論理、ブール代数
言明「 $⊥$ 」は無条件に偽である。
$⊥ \Rightarrow A$ は常に真。

U+22A5

&#8869;

-

  
        ⊥
      
    {\displaystyle \bot }
  
 \bot

F

U+0046

&#70;

-

0

U+0030

&#48;

-

記号

名称 / 読み方 / 分野
説明
例

Unicode

文字参照

実体参照

LaTeXコマンド

∀

全称量化	すべての; 任意の; それぞれについて	一階述語論理
「 $\forall x : P (x)$ 」は、すべての $x$ について $P (x)$ が真であることを意味する。
$\forall n \in ℕ : n 2 \geq n$ .

U+2200

&#8704;

&forall;

  
        ∀
      
    {\displaystyle \forall }
  
 \forall

∃

存在量化	〜が存在する	一階述語論理
「 $\exists x : P (x)$ 」は、 $P (x)$ を満たす $x$ が少なくとも1つは存在することを意味する。
$\exists n \in ℕ: n が偶数$ .

U+2203

&#8707;

&exist;

  
        ∃
      
    {\displaystyle \exists }
  
 \exists

∃!

唯一存在量化（英語版）	〜がただ1つ存在する	一階述語論理
「 $\exists! x : P (x)$ 」は、 $P (x)$ を満たす $x$ がただ1つ存在することを意味する。
$\exists! n \in ℕ: n + 5 = 2 n$ .

U+2203 U+0021

&#8707;&#33;

-

  
        ∃
        !
      
    {\displaystyle \exists !}
  
 \exists!

記号

名称 / 読み方 / 分野
説明
例

Unicode

文字参照

実体参照

LaTeXコマンド

≔

定義	〜として定義される	全分野
「 $x ≔ y$ 」や「 $x \equiv y$ 」は、 $x$ は $y$ の別名として定義されることを意味する。 (ただし「≡」は、単なる一致も意味する）「 $P :\Leftrightarrow Q$ 」は、 $P$ が $Q$ と論理的に等価に定義されることを意味する。
$cosh x ≔ (1/2)(exp x + exp (- x))$ $A XOR B :\Leftrightarrow (A \lor B) \land \neg(A \land B)$

U+2254

&#8788;

-

  
                :
              
        =
      
    {\displaystyle {{\mathrel {\mathop {:} }}\!\!}=}
  
 \coloneqq[注釈 1]

≡

U+2261

&#8801;

&equiv;

  
        ≡
      
    {\displaystyle \equiv }
  
 \equiv

:⇔

U+003A U+229C

&#58;&#8860;

:&hArr;

  
        :⇔
      
    {\displaystyle :\Leftrightarrow }
  
 :\Leftrightarrow

( )

優先順位	括弧	全分野
括弧内の操作を優先して実行する。
$(8 \div 4) \div 2 = 2 \div 2 = 1$ , 一方で $8 \div (4 \div 2) = 8 \div 2 = 4$ .

U+0028 U+0029

&#40; &#41;

&exist;

  
        (
        )
      
    {\displaystyle ()}
  
 ()

⊢

ターンスタイル	〜を証明する	命題論理、一階述語論理
「 $x ⊢ y$ 」は $x$ から $y$ が証明させることを意味する。
$A \to B ⊢ \neg B \to \neg A$

U+22A2

&#8866;

-

  
        ⊢
      
    {\displaystyle \vdash }
  
 \vdash

⊨

ダブル・ターンスタイル（英語版）	〜を含意する	命題論理、一階述語論理
「 $x ⊨ y$ 」は $x$ が $y$ を含意することを意味する。
$A \to B ⊨ \neg B \to \neg A$

U+22A8

&#8872;

-

  
        ⊨
      
    {\displaystyle \vDash }
  
 \vDash

記号

名称 / 読み方 / 分野
説明
例

Unicode

文字参照

実体参照

LaTeXコマンド

その他の論理記号

以下では、発展的または稀に用いられる論理記号について述べる。

$\cdot$: オーバーラインの引かれた中点は否定論理積 NAND を表す。 $A \cdot B$ は $\neg (A & B)$ と等価。
オーバーライン: 数式の上に引かれたオーバーラインは、ゲーデル数を表すことがある。例えば $A \lor B$ は、論理式 $A \lor B$ のゲーデル数を意味する。; またオーバーラインで否定を表すこともある。例えば $A \lor B$ は、 $\neg(A \lor B)$ と等価。
U+007C | vertical line
U+2191 ↑ upwards arrow
U+22BC ⊼ nand: シェファーの棒記号 (Sheffer stroke) とも呼ばれ、否定論理積 NAND 演算子である。
U+2193 ↓ downwards arrow
U+22BD ⊽ nor: パースの矢印 (Peirce arrow) とも呼ばれ、否定論理和 NOR 演算子である。
U+2201 ∁ complement: 集合論において補集合を表す。例えば、全体集合が了解されている集合 $A$ について、その補集合は $\complement A$ と表される。
U+2204 ∄ there does not exist: 斜線の引かれた存在量化子は、 $\neg\exists$ と等価である。すなわち存在の否定を意味する。
U+2234 ∴ therefore: 「故に、従って (therefore)」を意味する。
U+2235 ∵ because: 「なぜならば (because)」を意味する。
U+22A7 ⊧ models: 左辺が右辺のモデルであることを意味する2項演算子。例えば理論 $T$ について「 $M ⊧ T$ 」は、 $M$ が $T$ のモデルであることを意味する。^[1]
U+22A8 ⊨ true: 左辺が右辺の論理的帰結であることを意味する2項演算子。例えば理論 $T$ と論理式 $φ$ について「 $T ⊨ φ$ 」は、 $φ$ が $T$ の論理的帰結である、すなわち $φ$ が $T$ の定理であることを意味する。; また「論理的に正しい」ことを意味する前置演算子。「 $\emptyset ⊧ φ$ 」を「 $⊧ φ$ 」と略記する、ここで $\emptyset$ は空集合。^[1]
U+22AC ⊬ does not prove: 「証明不可能」を意味する。例えば理論 $T$ と論理式 $φ$ について「 $T ⊬ φ$ 」は、 $T$ から $φ$ が証明不可能である、すなわち $φ$ は $T$ の定理ではないことを意味する。
U+22AD ⊭ not true: U+22A8 ⊨ true の否定。
U+22C6 ⋆ star operator: アドホックな演算子について用いられる。
U+231C ⌜ top left corner
U+231D ⌝ top right corner: 角引用符 (corner quotes) は「クワインの引用符」または「疑似引用符」(quasi-quotation) と呼ばれ、ゲーデル数を意味する。例えば論理式 $φ$ について「 $⌜ φ ⌝$ 」は、ゲーデル数化された $φ$ を意味する。^[2]

参考文献

新井敏康『数学基礎論』岩波書店、2011年5月19日。ISBN 978-4000055369。
田中一之編『ゲーデルと20世紀の論理学 3　不完全性定理と算術の体系』東京大学出版会、2007年3月1日。ISBN 978-4130640978。

注釈

^ mathtools パッケージの導入が必要

^ ^a ^b 新井 2011, p. 23.
^ 田中 2007, pp. 78–79.

[1] mathtools パッケージの導入が必要

[FOOTNOTE新井201123-2] 新井 2011, p. 23.

[FOOTNOTE田中200778–79-3] 田中 2007, pp. 78–79.

[注釈 1]

[1]

[2]

@@ 1行目: / 1行目: @@
 [[論理学]]において、[[論理記号|記号]]は広く論理的表現を表すのに用いられている。
 以下の表は多くの一般的な記号について、それらの名称と読み方、数学における関連分野について記している。
+加えて、非形式的な定義と単純な例を。
-加えて、第3列では非形式的な定義を、第4列では単純な例を、第5列では[[Unicode]]における符号位置、第6列ではHTMLで用いられる[[実体参照]]、そして最終列では{{LaTeX|.}}で使用可能なコマンドを記している。
+そして[[Unicode]]における符号位置や[[文字参照]]、{{LaTeX|.}}で使用可能なコマンドを記している。
 ==基礎的な論理記号==
@@ 134行目: / 135行目: @@
 <!-- 項目始め -->
 |style="background-color: #d0f0d0; text-align:center; border-bottom: none; font-size: 200%;"|∧
-|rowspan="3" style="margin: 0; padding: 0; vertical-align: top; height: 100%;"|
+|rowspan="4" style="margin: 0; padding: 0; vertical-align: top; height: 100%;"|
 {{利用者:Sierpinski/論理記号テーブル内テーブルテンプレート
 | [[論理積]]
-| かつ
+| かつ ({{En|and}})
 | 命題論理、[[ブール代数]]
 | 言明「{{math|''A'' ∧ ''B''}}」は、{{mvar|A}} と {{mvar|B}} が共に真であるときのみ、真である、他の場合は偽。
@@ 148行目: / 149行目: @@
 <math>\wedge</math> \wedge
 |-
-|style="background-color: #d0f0d0; text-align:center; border: none; font-size: 200%;"|·
+|style="background-color: #d0f0d0; text-align:center; border: none; font-size: 200%;"|&middot;
 |style="font-family:monospace;"| U+00B7
 |style="font-family:monospace;"| &amp;#183;
 |style="font-family:monospace;"| &amp;middot;
-|style="font-family:monospace;"| <math>\cdot</math> \cdot
+|style="font-family:monospace;" rowspan="2"| <math>\cdot</math> \cdot
+|-
+|style="background-color: #d0f0d0; text-align:center; border: none; font-size: 200%;"|&sdot;
+|style="font-family:monospace;"| U+22C5
+|style="font-family:monospace;"| &amp;#8901;
+|style="font-family:monospace;"| &amp;sdot;
 |-
 |style="background-color: #d0f0d0; text-align:center; border-top: none; font-size: 200%;"|&
@@ 166行目: / 172行目: @@
 {{利用者:Sierpinski/論理記号テーブル内テーブルテンプレート
 | [[論理和]]
-| または
+| または ({{En|or}})
 | 命題論理、ブール代数
 | 言明「{{math|''A'' ∨ ''B''}}」は、{{mvar|A}} または {{mvar|B}} のいずれか（または両方）が真のとき、真である; そして両方が偽のときは、偽。
@@ 422行目: / 428行目: @@
 | 〜を[[論理的帰結|含意する]]
 | 命題論理、一階述語論理
-| 「{{math|''x'' ⊨ ''y''}}」は {{mvar|x}} は {{mvar|y}} を含意することを意味する。
+| 「{{math|''x'' ⊨ ''y''}}」は {{mvar|x}} が {{mvar|y}} を含意することを意味する。
 | {{math|''A'' → ''B'' ⊨ ¬''B'' → ¬''A''}}
 }}
@@ 452行目: / 458行目: @@
 以下では、発展的または稀に用いられる論理記号について述べる。
-; {{Unichar|00B7|MIDDLE DOT}}
+; {{math|{{overline|&sdot;}}}}
-; {{Unichar|22C5|dot operator}}
-: [[中黒|中点]]は[[論理積]] AND を表す<ref>{{citation|title=Logic: theoretical and applied|first=Baruch A.|last=Brody|publisher=Prentice-Hall|year=1973|isbn=9780135401460|page=93|quote=We turn now to the second of our connective symbols, the centered dot, which is called the conjunction sign.}}</ref>。{{math|''A'' &middot; ''B''}} は {{math|''A'' &amp; ''B''}} と等価。
-; {{math|{{overline|&middot;}}}}
 : [[オーバーライン]]の引かれた中点は[[否定論理積]] NAND を表す。{{math|''A'' {{overline|&middot;}} ''B''}} は {{math|&not; (''A'' &amp; ''B'')}} と等価。
-; {{unichar|0305|COMBINING OVERLINE|nlink=overline|cwith=&nbsp;}}
-: used as abbreviation for standard numerals ([[Typographical Number Theory]]). For example, using HTML style "4&#x0305;" is a shorthand for the standard numeral "SSSS0".
 ; オーバーライン
 : 数式の上に引かれたオーバーラインは、[[ゲーデル数]]を表すことがある。例えば {{math|{{overline|''A'' &or; ''B''}}}} は、論理式 {{math|''A'' &or; ''B''}} のゲーデル数を意味する。
@@ 464行目: / 465行目: @@
 ; {{Unichar|007C|VERTICAL LINE}}
 ; {{Unichar|2191|UPWARDS ARROW}}
+; {{Unichar|22BC|NAND}}
 : シェファーの棒記号 ({{En|Sheffer stroke}}) とも呼ばれ、否定論理積 NAND 演算子である。
 ; {{Unichar|2193|DOWNWARDS ARROW}}
+; {{unichar|22BD|Nor}}
 : パースの矢印 ({{En|Peirce arrow}}) とも呼ばれ、[[否定論理和]] NOR 演算子である。
 ; {{Unichar|2201|Complement}}
@@ 475行目: / 478行目: @@
 ; {{Unichar|2235|Because|nlink=∵}}
 : 「なぜならば ({{En|because}})」を意味する。
-; {{unichar|22A7|Models}}
+; {{Unichar|22A7|Models}}
+: 左辺が右辺の[[モデル理論|モデル]]であることを意味する2項演算子。例えば理論 {{mvar|T}} について「{{math|''M'' &#x22A7; ''T''}}」は、{{mvar|M}} が {{mvar|T}} のモデルであることを意味する。{{Sfn|新井|2011|p=23}}
-: is a [[Model theory|model]] of
-; {{unichar|22A8|True}}
+; {{Unichar|22A8|True}}
+: 左辺が右辺の論理的帰結であることを意味する2項演算子。例えば理論 {{mvar|T}} と論理式 {{mvar|&phi;}} について「{{math|''T'' &#x22A8; ''&phi;''}}」は、{{mvar|&phi;}} が {{mvar|T}} の論理的帰結である、すなわち {{mvar|&phi;}} が {{mvar|T}} の[[定理]]であることを意味する。
-: is true of
+: また「論理的に正しい」ことを意味する前置演算子。「{{math|&empty; &#x22A7; ''&phi;''}}」を「{{math|&#x22A7; ''&phi;''}}」と略記する、ここで {{math|&empty;}} は[[空集合]]。{{Sfn|新井|2011|p=23}}
-; {{unichar|22AC|DOES NOT PROVE}}
+; {{Unichar|22AC|DOES NOT PROVE}}
-: negated ⊢, the sign for "does not prove", for example ''T'' ⊬ ''P'' says "''P'' is not a theorem of ''T''"
+: 「証明不可能」を意味する。例えば理論 {{mvar|T}} と論理式 {{mvar|&phi;}} について「{{math|''T'' &#x22AC; ''&phi;''}}」は、{{mvar|T}} から {{mvar|&phi;}} が証明不可能である、すなわち {{mvar|&phi;}} は {{mvar|T}} の定理ではないことを意味する。
-; {{unichar|22AD|Not true}}
-: is not true of
+; {{Unichar|22AD|Not true}}
+: {{Unichar|22A8|True}} の否定。
-; {{unichar|22BC|NAND}}
-: NAND operator. In HTML, it can also be produced by <code>&lt;span style="text-decoration: overline"&gt;&amp;and;&lt;/span&gt;</code>: <span style="text-decoration: overline">&and;</span>
-; {{unichar|22BD|Nor}}
-: NOR operator. In HTML, it can also be produced by <code>&lt;span style="text-decoration: overline"&gt;&amp;or;&lt;/span&gt;</code>: <span style="text-decoration: overline">&or;</span>
-; {{unichar|25C7|WHITE DIAMOND}}
-: modal operator for "it is possible that", "it is not necessarily not" or rarely "it is not provable not" (in most modal logics it is defined as "¬◻¬")
 ; {{unichar|22C6|STAR OPERATOR}}
+: [[アドホック]]な演算子について用いられる。
-: usually used for ad-hoc operators
-; {{unichar|22A5|UP TACK}}
-; {{unichar|2193|DOWNWARDS ARROW}}
-: Webb-operator or Peirce arrow, the sign for [[Logical NOR|NOR]]. Confusingly, "⊥" is also the sign for contradiction or absurdity.
-; {{unichar|2310|REVERSED NOT SIGN}}
 ; {{unichar|231C|TOP LEFT CORNER}}
 ; {{unichar|231D|TOP RIGHT CORNER}}
+: 角引用符 ({{En|corner quotes}}) は「クワインの引用符」または「疑似引用符」({{En|quasi-quotation}}) と呼ばれ、[[ゲーデル数]]を意味する。例えば論理式 {{mvar|&phi;}} について「{{math|&#x231C;''&phi;''&#x231D;}}」は、ゲーデル数化された {{mvar|&phi;}} を意味する。{{Sfn|田中|2007|pp=78-79}}
-: corner quotes, also called "Quine quotes"; for quasi-quotation, i.e. quoting specific context of unspecified ("variable") expressions;<ref>[[Willard Van Orman Quine|Quine, W.V.]] (1981): ''Mathematical Logic'', §6</ref> also used for denoting [[Gödel number]];<ref>{{citation|title=The Principles of Mathematics Revisited|first=Jaakko|last=Hintikka|publisher=Cambridge University Press|year=1998|isbn=9780521624985|page=113|url=https://books.google.com/books?id=JHBnE0EQ6VgC&pg=PA113}}.</ref> for example "⌜G⌝" denotes the Gödel number of G.  (Typographical note: although the quotes appears as  a "pair" in unicode (231C and 231D), they are not symmetrical in some fonts. And in some fonts (for example Arial) they are only symmetrical in certain sizes.   Alternatively the quotes can be rendered as ⌈ and ⌉ (U+2308 and U+2309) or by using a negation symbol and a reversed negation symbol ⌐ ¬ in superscript mode. )
+<!--
+; {{unichar|25C7|WHITE DIAMOND}}
+: modal operator for "it is possible that", "it is not necessarily not" or rarely "it is not provable not" (in most modal logics it is defined as "¬◻¬")
 ; {{unichar|25FB|WHITE MEDIUM SQUARE}}
 ; {{unichar|25A1|WHITE SQUARE}}
@@ 516行目: / 513行目: @@
 : sometimes used for "relation", also used for denoting various ad hoc relations (for example, for denoting "witnessing" in the context of [[Rosser's trick]]) The fish hook is also used as strict implication by C.I.Lewis <math> p </math> &#x297D; <math> q \equiv \Box(p\rightarrow q)</math>, the corresponding LaTeX macro is \strictif.  [http://www.fileformat.info/info/unicode/char/297d/index.htm See here] for an image of glyph. Added to Unicode 3.2.0.
 ; {{unichar|2A07|TWO LOGICAL AND OPERATOR}}
+-->
+==参考文献==
+* {{Cite book|和書
+| author    = 新井 敏康
+| authorlink= 新井敏康
+| title     = 数学基礎論
+| date      = 2011-5-19
+| publisher = 岩波書店
+| isbn      = 978-4000055369
+| ref       = {{SfnRef|新井|2011}}
+}}
+* {{Cite book|和書
+| editor    = [[田中一之|田中 一之]]
+| title     = ゲーデルと20世紀の論理学 3　不完全性定理と算術の体系
+| date      = 2007-3-1
+| publisher = 東京大学出版会
+| isbn      = 978-4130640978
+| ref       = {{SfnRef|田中|2007}}
+}}
 ==注釈==