指標表

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群論において、の要素に対して表現行列対角和トレース)を与える写像を指標(しひょう、: character)と呼ぶ。与えられた群について、その全ての既約表現の指標を表にまとめたものを指標表(しひょうひょう、: character table)という。これは直交関係などにより対象としている群についての比較的少ない情報から計算できて、群の性質をそこから引き出すことができる。

化学結晶学分光学において点群の指標表は、対称性の観点から分子振動を分類したり、2つの量子状態間の遷移が可能かどうかを考える場合に用いられる。

定義[編集]

有限群 G複素数体 C既約表現 X : G → GLn(C) に対して写像 χ = Tr X : GC を次数 n既約指標という。 既約指標の数と共役類の数は等しい。 群 G の既約指標 χ1, …, χk と共役類の完全代表系 g1, …, gk に対して正方行列 T = [ χi(gj) ]1 ≤ i, jk指標表という。 指標は類関数なので指標表は矛盾なく定まるが、行と列に関する入れ替えを除いてしか決まらない。

性質[編集]

以下では群とは有限群のことを指す。 群 G の既約指標のなす集合を Irr(G) とおく。 群 G の元 g に対して gG は共役類、 CG(g) は中心化群を表す。

 \frac{1}{\vert G \vert} \sum_{g \in G} \chi(g) \overline{\psi(g)} = \delta_{\chi \psi} \qquad (\chi, \psi \in \operatorname{Irr}(G))
 \frac{1}{\vert C_G(g) \vert}\sum_{\chi \in \operatorname{Irr}(G)} \chi(g) \overline{\chi(h)} = \delta_{g^G h^G} \qquad (g, h \in G)
  • 群の位数と既約指標の次数の二乗和は等しい(直交関係の特別な場合)。
  • 線型指標―すなわち次数1の指標―の数と交換子群指数は等しい。
  • 既約指標の次数は群の位数を割り切る。
  • 群の正規部分群のなすがわかる。より正確に述べると、群 G のすべての正規部分群は既約指標の核 kerχ = { gG | χ(1) = χ(g) } のいくつかの共通部分で表せる。
  • 群の単純性を判定できる。(直前の性質から正規部分群についてわかるため。)
  • 正規部分群 N による商 G/N の既約指標は自然な一対一対応によって G の既約指標と見做せる。
Irr(G/N) ↔ { χ ∈ Irr(G) | N ≤ kerχ }

具体例[編集]

3次対称群 S3 の指標表[編集]

3次対称群 G := S3 の既約表現は同値なものを除くと次で定まる準同型写像 X1, X2, X3 の3つである。

  • X1 : G → GL1(C)
(1, 2)(3) ↦ [1], (1, 2, 3) ↦ [1]
  • X2 : G → GL1(C)
(1, 2)(3) ↦ [-1], (1, 2, 3) ↦ [1]
  • X3 : G → GL2(C)
(1, 2)(3) ↦ \begin{bmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{bmatrix}, (1, 2, 3) ↦ \begin{bmatrix}e^{2\pi i/3} & 0\\ 0 & e^{-2\pi i/3}\end{bmatrix}

したがってχj = Tr Xj とおけば G の指標表は次のようになる。

G = S3 の指標表
g (1)(2)(3) (1, 2)(3) (1, 2, 3)
gG 1 3 2
|CG(g)| 6 2 3
χ1 1 1 1
χ2 1 -1 1
χ3 2 0 -1

位数8の非可換群の指標表[編集]

位数8の非可換群には二面体群 D8 = 〈 r, s | r4 = s2 = e, rs = r-1 〉 と四元数群 Q8の2つの非同型類があるが、その指標表は等しい。したがって一般に指標表から群の同型類を決定することはできない。

G = D8 の指標表
g e r2 r s rs
gG 1 1 2 2 2
|CG(g)| 8 8 4 4 4
χ1 1 1 1 1 1
χ2 1 1 1 -1 -1
χ3 1 1 -1 1 -1
χ4 1 1 -1 -1 1
χ5 2 -2 0 0 0

点群C2vの指標表[編集]

E C2 σv σv'
A1
A2
B1
B2
1 1 1 1
1 1 -1 -1
1 -1 1 -1
1 -1 -1 1
Tz z , z2 , x2 , y2
Rz xy
Ty , Rx y , xz
Tx , Ry x , yz

関連項目[編集]

参考文献[編集]

  • Alperin, J. L.; Bell, Rowen B. (1995), Groups and representations, Graduate Texts in Mathematics, 162, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94525-5, MR:1369573 
  • James, Gordon; Liebeck, Martin (2001). Representations and Characters of Groups (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-00392-X.