和分差分学

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数学の一部門としての差分法(さぶんほう、: difference calculus, calculus of finite difference)あるいは和分差分学(わぶんさぶんがく、: discrete calculus)は、(微分法および積分法を柱とする)微分積分学の離散版にあたる。微分積分学が(極限の概念を定式化し得る)連続的な空間上の函数(特に実数直線上で定義された函数)に興味が持たれるのに対して、和分差分学では離散的な空間、特に整数全体の成す集合 上で定義された函数(すなわち数列)に注目する。差分法は級数の計算にも応用される。

差分および和分[編集]

よく知られた連続的な微分法は

で定義される微分作用素 D に基づくのに対し、離散的な差分法は

で定義される差分作用素 Δ に基づく。

逆演算は、連続的な微分積分学における不定積分に対応するものとして、離散的な不定和分 f(x) が差分作用素に対して

を満足するものとして定義される。ただし、δ は連続的な微分積分学における D に対する d と同様の意味で(ここでは)Δ に対する符牒である。また C は整数 x に対して定数となるような任意の函数 (C(x + 1) = C(x)) とする。

定積分に相当する定和分は、上の限界を固定しない通常の和 F(x) を用いれば

なる関係にある。

性質[編集]

固有函数[編集]

微分作用素の作用の下で不変な函数が e を底とする指数函数であったことに対応する事実として、差分作用素の作用の下では2 を底とする指数函数フランス語版が不変である。これを確かめるのは容易い。[1]

階乗冪函数[編集]

下降階乗に関しては単純な規則が存在する。任意の整数 m に対して

と書くことにすれば、和分差分学における振る舞いを

のように表すことができる[2]。ここに Hnn-番目の調和数である。この意味で、調和数は自然対数の離散版となるものということになる[1] なることも用いた。

積の差分法則と部分和分[編集]

連続的な微分積分学における積の微分法則に対応する、差分に関する積の法則が

なる形で成り立つ。シフト作用素 EEf(x) := f(x + 1) で定めれば、短く

と書くこともできる。これを逆に用いて、連続的な部分積分に対応する部分和分の式

が得られる。

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参考文献[編集]

外部リンク[編集]