反転環幾何

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数学における反転環幾何(はんてんかんきか、: inversive ring geometry)は、通常はに対して構成されるような射影直線斉次座標系射影変換複比といった概念を、結合環に対するものへ拡張するものである。

定義[編集]

A を単位元 1 を持つ(結合的な)とし、A × A に属する順序対 (a, b) を考える。U を環 A単元群として、適当な gU に対して

(ag, bg) = (u, v)

が成り立つとき、

(u, v) ~ (a, b)

と書くことにする。即ち、U の作用による同じ軌道に属する元を全て同一視し、それに対応する同値関係を "~" で表す(U の作用は右からだが、後の便宜上対 (a, b) の属する同値類(軌道)は U(a, b) で表す)。

A の二元が互いに素 (relatively prime) であるとは、それらが A において生成するイデアルA 全体に一致することをいう。A 上の射影直線とは、互いに素な二元の対の ~ に関する同値類全体の成す集合

P(A) = {U(a, b) ∈ A × A/~  : Aa + Ab = A}

を言う。しばしば、自然な埋め込み AP(A); xU(x, 1) によって AP(A) の部分集合と見做す。

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例を挙げて、その位相的な形状を示す(記号 "≈" は同相)。

アフィン群と射影群[編集]

A 上のアフィン変換群は、平行移動変換 xx + c および回転変換 xxu (uU) によって生成される。

射影直線 P(A) 上の射影変換群は、アフィン群に反転変換 (reciprocation) xx−1 を加えて拡張したもので、実際には以下のように表現行列を用いて記述できる:

平行移動
U(x,1)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ c & 1 \end{pmatrix} = U(x+c,1).
回転
U(x,1)\begin{pmatrix} u & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = U(xu,1).
反転
U(x,y)\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = U(y,x).

反転に関して、uU ならば

U(1,u) = U(u^{-1},1) = U(u,1)\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

となることに注意せよ。

ここで P(A) の元それ自身を、行列による変換を受ける行ベクトルとして見ると、類に対する右からの変換を、変換を受けたベクトルの属する類を与えるものと読んでも整合的になる。これらの変換写像の合成は、A に成分をとる二次正方行列全体の成す集合 M(2; A) における、行列の積によって表現される。即ち、射影変換 (projectivity) 全体の成す群を G(A) と書けば、G(A) ⊂ M(2; A) が成り立つ。例えば、G(A) には射影変換

\begin{pmatrix}u & 0 \\0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u & 0 \\ 0 & u \end{pmatrix}

が属し、その作用は

U(x,1)\begin{pmatrix} u & 0 \\ 0 & u \end{pmatrix} = U(xu, u) = U(u^{-1}xu, 1)

となるが、これは単元群 UA による内部自己同型 xu−1xu が、G(A) の元による P(A) 上の射影変換として引き起こされることを意味する。例えば、A四元数全体の成す可除環とすれば、この方法で三次元空間内の回転英語版が得られる。また A が(二つの共軛を持つ)双四元数の環の場合には、射影変換として

T(q) = u^* q u^{\star}, \quad (u u^* = 1)

なる写像も含まれ、これは特殊相対論におけるローレンツ群表現を与えるものになっている。

複比定理[編集]

ここでは複比の存在性、一意性、整合三つ組および不変性について考察する。p, q, rA に対し

t = (rp)−1, v = (t + (qr)−1)−1

と置き、これら逆元 t, v が存在するとき、「p, q, r は十分に分離される」と言う。いま

 
 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\-r & 1 \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ t & 1 \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix} v & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

に着目すると、最初の二つの因子は r を一つ決めるごとにそれを U(1, 0) = ∞ へ写す(これは残りの因子では動かない)。また第三因子は t の取り方から、p の最初の二つの因子による像を U(0, 1)(つまり自然な埋め込みのもとでの原点 0)へ写す(これは第四因子で動かない)。そして第四因子は q の最初の三つの因子による像の v による回転の形で U(q, 1) を U(1, 1) へ写す。以上から、三つ組 (p,q,r) はこの変換で三つ組 (0,1,∞) にすることができる。三つ組を (0,1,∞) へ写す生成元の不動点を軸に考えれば、このような射影変換は明らかに一意的である。

s および t が二つの十分に分離された三つ組とすれば、対応する射影変換 g および h がそれぞれ s および t を (0,1,∞) へ写す写像として定まるから、射影変換 h−1gst に写す。

p,q,r によって決まる上記の射影変換 f による x の像を f(x) := (x,p,q,r) で表すとき、この函数 f(x) を p, q, rA によって定まる複比 (cross-ratio) と言う。この函数の一意性により、三つ組 (p, q, r) を一つの射影変換 gG(A) によって別の三つ組 (g(p), g(q), g(r)) に取り換えるとき、新しい三つ組に関する複比函数 hfg に一致しなければならない。つまり hg−1 = f, 故に複比に関して

(g(x), g(p), g(q), g(r) ) = (x, p, q, r)

なる不変性が成立することがわかる。

歴史[編集]

メビウスは、著書『重心算法』(Baricentric Calculus, 1827) および1855年の論文「純幾何学的表現における相互関係の理論」("Theorie der Kreisverwandtschaft in rein geometrischer Darstellung") においてメビウス変換を研究した。また、フォイエルバッハプリュッカーは斉次座標の創始者として名を知られている。1898年にシュトゥーディおよび1908年にエリ・カルタンが、それぞれドイツ語およびフランス語版の『数学百科事典』に記した超複素数系 (hypercomplex numbers) の項目では、その算術を用いたメビウス変換とよく似た線型汎函数変換が定義されている。1902年にファーレンは、クリフォード環のある線型汎函数変換について調べた短いがよく参照される論文(Valen 1902)を寄稿する。二重数の環 D に対する射影直線 P(D) は Grünwald (1906) が提示の機会を得ており、この環については Segre (1912) が引き続いて展開した。

コンウェイは、双四元数変換を通じて相対性を採用した初期の学者の一人で、相対性を研究した(Conway 1911, p. 9)で四元数逆数変換を考えた。1947年には、反転四元数幾何のいくつかの要素をゴレミーが論文(Gormley 1947)で記述している。1968年にはイザーク・ヤグロムのロシア語で書かれた本が『幾何学における複素数』(Complex Numbers in Geometry) として英訳されて、P(D) がユークリッド平面における直線幾何を、分解型複素数上の射影直線 P(M) がロバチェフスキー平面を、それぞれ記述するのに用いられている。またヤグロムの教科書『ある単純な非ユークリッド幾何』(A Simple Non-Euclidean Geometry) も1979年に英訳されている。その174ページから200ページにかけて、ミンコフスキー幾何が展開され、P(M) が「反転ミンコフスキー平面」("inversive Minkowski plane") として記述されている。ヤグロムの教科書のロシア語原版が出版されたのは1969年であり、英訳版が出るまでの間に出版された Bentz (1973) では分解型複素数の環 M に値を取る斉次座標の概念が含まれている。

注記[編集]

参考文献[編集]

  • Walter Benz (1973) Vorlesungen über Geometrie der Algebren, Springer.
  • Arthur Conway (1911) "On the application of quaternions to some recent developments of electrical theory", Proceedings of the Royal Irish Academy 29:1–9.
  • Josef Grünwald (1906) "Über duale Zahlen und ihre Anwendung in der Geometrie", Monatshefte für Mathematik 17: 81–136.
  • P.G. Gormley (1947) "Stereographic projection and the linear fractional group of transformations of quaternions", Proceeding of the Royal Irish Academy, Section A 51:67–85.
  • Corrado Segre (1912) "Le geometrie proiettive nei campi di numeri duali", Paper XL of Opere, also Atti della R. Academia della Scienze di Torino, vol XLVII.
  • Valen, Theodor (1902) "Über Bewegungen und complexe Zahlen", Mathematische Annalen 55:585–93.
  • I. M. Yaglom (1968) Complex Numbers in Geometry.
  • I. M. Yaglom (1979) A Simple Non-Euclidean Geometry and its Physical Basis.