半ノルム

数学の特に線型代数学および函数解析学における半ノルム（はんのるむ、英: seminorm, semi-norm; セミノルム）は、ベクトル空間上で定義される絶対斉次劣加法的函数で、正定値と制約しないことによるノルムの一般化である。

半ノルムの値は非負かつ符号反転に関して対称であり、函数として劣線型（ドイツ語版、英語版）かつ凸である。

各半ノルムには、適当な剰余類をとる商構成に誘導されるノルムが付随する。半ノルムからなる族を用いて、局所凸線型空間を定義することができる。

定義[編集]

ノルム体 $K$ （ふつうは実数体 $R$ または複素数体 $C$ ）上のベクトル空間 $V$ に対し、 $V$ 上の半ノルムとは、写像 $p : V \to R + 0$ で絶対斉次性および劣加法性を持つものを言う^[1]。式で書けば、 $x, y \in V$ および $λ \in K$ を任意として

絶対斉次性: $p(\lambda x)=|\lambda |\,p(x)$
劣加法性: $p(x+y)\leq p(x)+p(y)$

が成り立つ。ただし、 $|•|$ は係数体の絶対値である。半ノルム $p$ を備えたベクトル空間 $V$ は半ノルム空間（ドイツ語版） $(V, p)$ と呼ぶ。

例[編集]

任意のノルムは、半ノルムである。
各ベクトルを全て零ベクトルに写す零函数 $p (v) \equiv 0$ は半ノルムである。
実または複素数値線型函数の絶対値は半ノルムである。
任意の正定値実対称双線型形式（または複素半双線型形式） $(•, •)$ が誘導する $p (x) = \sqrt (x, x)$ は半ノルムである。
位相空間 $X$ とそのコンパクト部分集合 $K \subset X$ に対し、 $p K (f) ≔ sup x \in K | f (x)|$ と置けば連続函数 $X \to C$ 全体の成す空間上の半ノルムが定まる。ここで、函数の値をコンパクト集合上でしかとっていないから、右辺の上限は存在して有限となることに注意せよ。
線型空間の併呑かつ絶対凸な部分集合 $U$ に対するミンコフスキー汎函数も半ノルムの例である。
ノルム空間 $X$ の連続的双対 $X*$ において $p x (φ) ≔ | φ (x)| (x \in X, φ \in X*)$ と置けば、 $X*$ 上の半ノルム $p x$ が定まる。
連続線型写像の空間 $L (X, Y)$ には、 $p x (T) ≔ | Tx | (x \in X)$ および $p x,ψ (T) ≔ | ψ (Tx)| (x \in X, ψ \in Y*)$ が半ノルムとして定義できる。

性質[編集]

定義から、絶対斉次性の式で $λ = 0$ とおくことにより、直ちに $p (0) = 0$ , すなわち零ベクトルの半ノルムが零であることが従う。しかしノルムの場合と対照的に、非零ベクトル $x \neq 0$ も半ノルムが $p (x) = 0$ となることが起きうる^{[注釈 1]}。

劣加法性（三角不等式とも呼ばれる）において $y = - x$ と置けば、絶対斉次性によって

半正定値性: $p(x)\geq 0\quad (\forall x\in V)$

が従う。また $λ = -1$ を考えることで、

反転対称性（英語版）: $p(x)=p(-x)\quad (\forall x\in V)$

が分かる。また、三角不等式を $x - y + y$ に適用して

逆向き三角不等式^{[注釈 2]}: $|p(x)-p(y)|\leq p(x-y)$

の成立も確かめられる。さらに、半ノルムが劣線型（ドイツ語版）となることは、絶対連続性が正斉次性を導くことから従い、半ノルムの凸性も

p(tx+(1-t)y)\leq p(tx)+p((1-t)y)=tp(x)+(1-t)p(y)\qquad (0\leq t\leq 1)

と確かめられる。逆に、絶対斉次凸函数は劣線型であり、したがって半ノルムになる（それを確かめるには、凸性を表す式で $t = 1/2$ と置いて全体を $2$ 倍すればよい）。

商ノルム空間[編集]

詳細は「ノルム空間」を参照

絶対斉次性と劣加法性から、半ノルム $0$ のベクトル全体の成す集合

Z=\{x\in V:p(x)=0\}

が $V$ の部分線型空間となることが従う。ここで $V$ 上の同値関係 $\sim$ が

x\sim y{\stackrel {\text{def}}{{}\iff {}}}x-y\in Z

によって定まる。この同値関係に関する同値類全体の成す集合 $~ V$ は、線型空間として商線型空間 $V/Z$ であり、半ノルム $p$ に関してノルム空間となる。これを $V$ の半ノルム $p$ による商ノルム空間と言う。

このような構成は、例えばL^p-空間の定義に用いられる。

半ノルム族[編集]

詳細は「局所凸空間」を参照

函数解析学の分野において局所凸線型空間は、半ノルムの族 $(p i) i \in I$ によってしばしば定義される。これによりもとの線型空間 $V$ に位相が入り、 $V$ は位相線型空間となる。

そのためにまず、部分集合 $U \subset V$ が開であるとは、適当な $x \in U$ に対し、 $ε > 0$ と有限個の添字 $i 1, \dots, i r$ が存在して、任意の $y \in V$ に対して

p_{i_{j}}(y)<\varepsilon ,\,j=1,\ldots ,r\implies x+y\in U

となるときに言うと定める。

この文脈において、特定の分離性条件を満足する半ノルム族が特に注目される。半ノルム族 $(p i) i \in I$ が分離的 (separated) あるいは完全 (total) であるとは、各 $x \in V ∖ {0}$ に対し、少なくとも一つの半ノルム $p i$ が存在して $p i (x) \neq 0$ となるときに言う。線型空間 $V$ が先に述べた半ノルム族の定める位相に関してハウスドルフ（分離的）となるのは、ちょうど半ノルム族が分離的となるときである。そのような位相線型空間は局所凸空間と呼ばれる^[2]

注[編集]

注釈[編集]

^ つまり、半ノルムの意味（での絶対差）で識別不可であることが同一性を意味しない
^ 逆三角不等式とも。なおミンコフスキー空間における三角不等式（特定の条件下で、通常とは不等号が「逆向き」の形で成り立つ）とは異なる。

出典[編集]

^ Rudin 1991, pp. 24–25.
^ Rudin 1991, pp. 26–27.

参考文献[編集]

Rudin, Walter (1991), Functional Analysis, New York: McGraw-Hill, ISBN 0-070-54236-8

外部リンク[編集]

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Semi-norm”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
Todd Rowland. "Seminorm". mathworld.wolfram.com (英語).
Seminorm - PlanetMath.（英語）
norm in nLab

[2] つまり、半ノルムの意味（での絶対差）で識別不可であることが同一性を意味しない

[3] 逆三角不等式とも。なおミンコフスキー空間における三角不等式（特定の条件下で、通常とは不等号が「逆向き」の形で成り立つ）とは異なる。

[FOOTNOTERudin199124–25-1] Rudin 1991, pp. 24–25.

[FOOTNOTERudin199126–27-4] Rudin 1991, pp. 26–27.

[1]

[注釈 1]

[注釈 2]

[2]