半ノルム

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絶対差函数 p(x, y) = |xy| は平面 R2 の半ノルムになる

数学の特に線型代数学および函数解析学における半ノルム(はんのるむ、: semi­norm, semi-norm; セミノルム)は、ベクトル空間上で定義される絶対斉次劣加法的函数で、正定値と制約しないことによるノルムの一般化である。

半ノルムの値は非負かつ符号反転に関して対称であり、函数として 劣線型ドイツ語版英語版かつである。

各半ノルムには、適当な剰余類をとる商構成に誘導されるノルムが付随する。半ノルムからなる族を用いて、局所凸線型空間を定義することができる。

定義[編集]

ノルム体 K(ふつうは実数R または複素数C)上のベクトル空間 V に対し、V 上の半ノルムとは、写像 p: VR+
0
 
絶対斉次性および劣加法性を持つものを言う[1]。式で書けば、x, yV および λK を任意として

絶対斉次性:
劣加法性:

が成り立つ。ただし、|•| は係数体の絶対値である。半ノルム p を備えたベクトル空間 V半ノルム空間ドイツ語版 (V, p) と呼ぶ。

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  • 任意のノルムは、半ノルムである。
  • 各ベクトルを全て零ベクトルに写す零函数 p(v) ≡ 0 は半ノルムである。
  • 実または複素数値線型函数の絶対値は半ノルムである。
  • 任意の正定値対称双線型形式(または複素半双線型形式(•, •) が誘導する p(x) = (x, x) は半ノルムである。
  • 位相空間 X とそのコンパクト部分集合 KX に対し、pK(f) := supxK |f(x)| と置けば連続函数 XC 全体の成す空間上の半ノルムが定まる。ここで、函数の値をコンパクト集合上でしかとっていないから、右辺の上限は存在して有限となることに注意せよ。
  • 線型空間の併呑かつ絶対凸な部分集合 U に対するミンコフスキー汎函数も半ノルムの例である。
  • ノルム空間 X連続的双対 X* において px(φ) := |φ(x)| (xX, φX*) と置けば、X* 上の半ノルム px が定まる。
  • 連続線型写像の空間 L(X, Y) には、px(T) := |Tx| (xX) および px,ψ(T) := |ψ(Tx)| (xX, ψY*) が半ノルムとして定義できる。

性質[編集]

定義から、絶対斉次性の式で λ = 0 とおくことにより、直ちに p(0) = 0, すなわち零ベクトルの半ノルムが零であることが従う。しかしノルムの場合と対照的に、非零ベクトル x ≠ 0 も半ノルムが p(x) = 0 となることが起きうる[注釈 1]

劣加法性(三角不等式とも呼ばれる)において y = −x と置けば、絶対斉次性によって

半正定値性:

が従う。また λ = −1 を考えることで、

反転対称英語版:

が分かる。また、三角不等式を xy + y に適用して

逆向き三角不等式[注釈 2]:

の成立も確かめられる。さらに、半ノルムが劣線型ドイツ語版となることは、絶対連続性が正斉次性を導くことから従い、半ノルムの凸性

と確かめられる。逆に、絶対斉次凸函数は劣線型であり、したがって半ノルムになる(それを確かめるには、凸性を表す式で t = 1/2 と置いて全体を 2-倍すればよい)。

商ノルム空間[編集]

絶対斉次性と劣加法性から、半ノルム 0のベクトル全体の成す集合

V部分線型空間となることが従う。ここで V 上の同値関係

によって定まる。この同値関係に関する同値類全体の成す集合 ~V は、線型空間として商線型空間 V/Z であり、半ノルム p に関してノルム空間となる。これを V の半ノルム p による商ノルム空間と言う。

このような構成は、例えばLp-空間の定義に用いられる。

半ノルム族[編集]

函数解析学の分野において局所凸線型空間は、半ノルムの (pi)iI によってしばしば定義される。これによりもとの線型空間 V位相が入り、V位相線型空間となる。

そのためにまず、部分集合 UVであるとは、適当な xU に対し、ε > 0 と有限個の添字 i1, …, ir が存在して、任意の yV に対して

となるときに言うと定める。

この文脈において、特定の分離性条件を満足する半ノルム族が特に注目される。半ノルム族 (pi)iI分離的 (separated) あるいは完全 (total) であるとは、各 xV {0} に対し、少なくとも一つの半ノルム pi が存在して pi(x) ≠ 0 となるときに言う。線型空間 V が先に述べた半ノルム族の定める位相に関してハウスドルフ(分離的)となるのは、ちょうど半ノルム族が分離的となるときである。そのような位相線型空間は局所凸空間と呼ばれる[2]

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注釈[編集]

  1. ^ つまり、半ノルムの意味(での絶対差)で識別不可であることが同一性を意味しない
  2. ^ 逆三角不等式とも。なおミンコフスキー空間における三角不等式(特定の条件下で、通常とは不等号が「逆向き」の形で成り立つ)とは異なる。

出典[編集]

  1. ^ Rudin 1991, pp. 24–25.
  2. ^ Rudin 1991, pp. 26–27.

参考文献[編集]

  • Rudin, Walter (1991), Functional Analysis, New York: McGraw-Hill, ISBN 0-070-54236-8 

関連項目[編集]

外部リンク[編集]