体球調和関数

物理学と数学において、体球調和関数（たいきゅうちょうわかんすう、英: solid harmonics）は球面座標系でのラプラス方程式の解を指す。原点で0になる正則な（regular）体球調和関数 $R_{\ell }^{m}({\boldsymbol {r}})$ と、原点が特異点となる非正則な（irregular）体球調和関数 $I_{\ell }^{m}({\boldsymbol {r}})$ の2種がある。いずれの関数集合もポテンシャル論で重要な役割を演じ、また適当にスケーリングすることで球面調和関数が得られる。

$R_{\ell }^{m}({\boldsymbol {r}})\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}\;r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )$

$I_{\ell }^{m}({\boldsymbol {r}})\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}\;{\frac {Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}{r^{\ell +1}}}$

導出および球面調和関数との関係

空間ベクトル r の球面極座標として r, θ, φ を導入すると、ラプラス方程式は以下の形になる。

$\nabla ^{2}\Phi ({\boldsymbol {r}})=\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}r-{\frac {{\hat {l}}^{2}}{r^{2}}}\right)\Phi ({\boldsymbol {r}})=0,\qquad {\boldsymbol {r}}\neq {\boldsymbol {0}},$

ここで l² は無次元化した角運動量演算子

${\boldsymbol {\hat {l}}}=-i\,({\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {\nabla }})$

の2乗である。

知られているように、球面調和関数 Y_l^m は演算子 l² の固有関数である。

${\hat {l}}^{2}Y_{\ell }^{m}\equiv \left[{\hat {l}}_{x}^{2}+{\hat {l}}_{y}^{2}+{\hat {l}}_{z}^{2}\right]Y_{\ell }^{m}=\ell (\ell +1)Y_{\ell }^{m}.$

Φ(r) = F(r) Y_l^m をラプラス方程式に代入し、両辺を球面調和関数で割ると、以下の動径方向の方程式とその一般解が得られる。

${\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}rF(r)={\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}F(r)\Longrightarrow F(r)=Ar^{\ell }+Br^{-\ell -1}.$

ラプラス方程式の解のうち一部が正則な体球調和関数

$R_{\ell }^{m}({\boldsymbol {r}})\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}\;r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ),$

であり、また一部が非正則な体球調和関数

$I_{\ell }^{m}({\boldsymbol {r}})\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}\;{\frac {Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}{r^{\ell +1}}}.$

である。

ラカーの正規化

ラカーの正規化（Racah's normalization、またはシュミットの準正規化（Schmidt's semi-normalization））はいずれの関数にも適用でき、単位（"1"）への正規化の代わりに

$\int _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta \int _{0}^{2\pi }d\varphi \;R_{\ell }^{m}({\boldsymbol {r}})^{*}\;R_{\ell }^{m}({\boldsymbol {r}})={\frac {4\pi }{2\ell +1}}r^{2\ell }$

とするものである（非正則な体球調和関数についても同様）。応用上多くの場合、ラカーの正規化因子は微分の下で形を変えないため便利である。

加法定理

正則な体球調和関数を平行移動したものは、次のように有限項に展開される。

$R_{\ell }^{m}({\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {a}})=\sum _{\lambda =0}^{\ell }{\binom {2\ell }{2\lambda }}^{1/2}\sum _{\mu =-\lambda }^{\lambda }R_{\lambda }^{\mu }({\boldsymbol {r}})R_{\ell -\lambda }^{m-\mu }({\boldsymbol {a}})\;\langle \lambda ,\mu ;\ell -\lambda ,m-\mu |\ell m\rangle ,$

ここでクレブシュ–ゴルダン係数は次式で与えられる。

$\langle \lambda ,\mu ;\ell -\lambda ,m-\mu |\ell m\rangle ={\binom {\ell +m}{\lambda +\mu }}^{1/2}{\binom {\ell -m}{\lambda -\mu }}^{1/2}{\binom {2\ell }{2\lambda }}^{-1/2}.$

類似の展開が非正則な体球調和関数に対しても行え、無限級数に展開される。

$I_{\ell }^{m}({\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {a}})=\sum _{\lambda =0}^{\infty }{\binom {2\ell +2\lambda +1}{2\lambda }}^{1/2}\sum _{\mu =-\lambda }^{\lambda }R_{\lambda }^{\mu }({\boldsymbol {r}})I_{\ell +\lambda }^{m-\mu }({\boldsymbol {a}})\;\langle \lambda ,\mu ;\ell +\lambda ,m-\mu |\ell m\rangle$

ここで $|r|\leq |a|$ とする。ブラケットで囲まれた因子は再びクレブシュ–ゴルダン係数である。

$\langle \lambda ,\mu ;\ell +\lambda ,m-\mu |\ell m\rangle =(-1)^{\lambda +\mu }{\binom {\ell +\lambda -m+\mu }{\lambda +\mu }}^{1/2}{\binom {\ell +\lambda +m-\mu }{\lambda -\mu }}^{1/2}{\binom {2\ell +2\lambda +1}{2\lambda }}^{-1/2}.$

参考文献

加法定理は著者によって様々な方法で証明されている。例えば、以下の2文献にはそれぞれの証明が載っている。

• R. J. A. Tough and A. J. Stone, J. Phys. A: Math. Gen. Vol. 10, p. 1261 (1977)
• M. J. Caola, J. Phys. A: Math. Gen. Vol. 11, p. L23 (1978)

実関数形式

±m についての簡単な線形結合によって、体球調和関数は実数値関数の集合に変換される。デカルト座標系で表示された実の正則体球調和関数は、x, y, z についての l 次斉次多項式である。これらの明示的に書かれた多項式は、例えば（球面座標で書かれた）原子軌道や実数値の多重極モーメントに現れ、重要である。以下でその導出を行う。

線形結合

先述と同じ定義で、

$R_{\ell }^{m}(r,\theta ,\varphi )=(-1)^{(m+|m|)/2}\;r^{\ell }\;\Theta _{\ell }^{|m|}(\cos \theta )e^{im\varphi },\qquad -\ell \leq m\leq \ell ,$

ただし

$\Theta _{\ell }^{m}(\cos \theta )\equiv \left[{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\,\sin ^{m}\theta \,{\frac {d^{m}P_{\ell }(\cos \theta )}{d\cos ^{m}\theta }},\qquad m\geq 0,$

ここで $P_{\ell }(\cos \theta )$ は l 次のルジャンドル多項式である。

この m に依存した位相はコンドン・ショートレー位相（Condon–Shortley phase）として知られている。

実の正則体球調和関数は次のように定義される。

${\begin{pmatrix}C_{\ell }^{m}\\S_{\ell }^{m}\end{pmatrix}}\equiv {\sqrt {2}}\;r^{\ell }\;\Theta _{\ell }^{m}{\begin{pmatrix}\cos m\varphi \\\sin m\varphi \end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}(-1)^{m}&\quad 1\\-(-1)^{m}i&\quad i\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}R_{\ell }^{m}\\R_{\ell }^{-m}\end{pmatrix}},\qquad m>0.$

また m = 0 に対しては

$C_{\ell }^{0}\equiv R_{\ell }^{0}.$

線形変換はユニタリ行列によるものなので、正規化因子は実数値の場合も複素数値の場合も同じになる。

z-依存因子

u = cosθ と書くと、ルジャンドル多項式の m 階導関数は次のような u の多項式で書ける。

${\frac {d^{m}P_{\ell }(u)}{du^{m}}}=\sum _{k=0}^{\left\lfloor (\ell -m)/2\right\rfloor }\gamma _{\ell k}^{(m)}\;u^{\ell -2k-m}$

ここで

$\gamma _{\ell k}^{(m)}=(-1)^{k}2^{-\ell }{\binom {\ell }{k}}{\binom {2\ell -2k}{\ell }}{\frac {(\ell -2k)!}{(\ell -2k-m)!}}.$

z = r cosθ だから、この導関数には適当な r の冪乗を掛ければ z のシンプルな多項式になる。

$\Pi _{\ell }^{m}(z)\equiv r^{\ell -m}{\frac {d^{m}P_{\ell }(u)}{du^{m}}}=\sum _{k=0}^{\left\lfloor (\ell -m)/2\right\rfloor }\gamma _{\ell k}^{(m)}\;r^{2k}\;z^{\ell -2k-m}.$

(x,y)-依存因子

次に、x = r sinθcosφ と y = r sinθsinφ に注意すると

$r^{m}\sin ^{m}\theta \cos m\varphi ={\frac {1}{2}}\left[(r\sin \theta e^{i\varphi })^{m}+(r\sin \theta e^{-i\varphi })^{m}\right]={\frac {1}{2}}\left[(x+iy)^{m}+(x-iy)^{m}\right]$

同様に

$r^{m}\sin ^{m}\theta \sin m\varphi ={\frac {1}{2i}}\left[(r\sin \theta e^{i\varphi })^{m}-(r\sin \theta e^{-i\varphi })^{m}\right]={\frac {1}{2i}}\left[(x+iy)^{m}-(x-iy)^{m}\right].$

これらより、次のように定義する。

$A_{m}(x,y)\equiv {\frac {1}{2}}\left[(x+iy)^{m}+(x-iy)^{m}\right]=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{m-p}\cos(m-p){\frac {\pi }{2}}$

$B_{m}(x,y)\equiv {\frac {1}{2i}}\left[(x+iy)^{m}-(x-iy)^{m}\right]=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{m-p}\sin(m-p){\frac {\pi }{2}}.$

まとめ

$C_{\ell }^{m}(x,y,z)=\left[{\frac {(2-\delta _{m0})(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\Pi _{\ell }^{m}(z)\;A_{m}(x,y),\qquad m=0,1,\ldots ,\ell$

$S_{\ell }^{m}(x,y,z)=\left[{\frac {2(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\Pi _{\ell }^{m}(z)\;B_{m}(x,y),\qquad m=1,2,\ldots ,\ell .$

低次の関数のリスト

l = 5 以下の関数の明示式を記す。ここで

${\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)\equiv \left[{\tfrac {(2-\delta _{m0})(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\Pi _{\ell }^{m}(z).$

---

${\begin{aligned}{\bar {\Pi }}_{0}^{0}&=1&{\bar {\Pi }}_{3}^{1}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {6}}(5z^{2}-r^{2})&{\bar {\Pi }}_{4}^{4}&={\frac {1}{8}}{\sqrt {35}}\\{\bar {\Pi }}_{1}^{0}&=z&{\bar {\Pi }}_{3}^{2}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {15}}\;z&{\bar {\Pi }}_{5}^{0}&={\frac {1}{8}}z(63z^{4}-70z^{2}r^{2}+15r^{4})\\{\bar {\Pi }}_{1}^{1}&=1&{\bar {\Pi }}_{3}^{3}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {10}}&{\bar {\Pi }}_{5}^{1}&={\frac {1}{8}}{\sqrt {15}}(21z^{4}-14z^{2}r^{2}+r^{4})\\{\bar {\Pi }}_{2}^{0}&={\frac {1}{2}}(3z^{2}-r^{2})&{\bar {\Pi }}_{4}^{0}&={\frac {1}{8}}(35z^{4}-30r^{2}z^{2}+3r^{4})&{\bar {\Pi }}_{5}^{2}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {105}}(3z^{2}-r^{2})z\\{\bar {\Pi }}_{2}^{1}&={\sqrt {3}}z&{\bar {\Pi }}_{4}^{1}&={\frac {\sqrt {10}}{4}}z(7z^{2}-3r^{2})&{\bar {\Pi }}_{5}^{3}&={\frac {1}{16}}{\sqrt {70}}(9z^{2}-r^{2})\\{\bar {\Pi }}_{2}^{2}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&{\bar {\Pi }}_{4}^{2}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {5}}(7z^{2}-r^{2})&{\bar {\Pi }}_{5}^{4}&={\frac {3}{8}}{\sqrt {35}}z\\{\bar {\Pi }}_{3}^{0}&={\frac {1}{2}}z(5z^{2}-3r^{2})&{\bar {\Pi }}_{4}^{3}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {70}}\;z&{\bar {\Pi }}_{5}^{5}&={\frac {3}{16}}{\sqrt {14}}\\\end{aligned}}$

---

低次の $A_{m}(x,y)\,$ と $B_{m}(x,y)\,$ は次の通りである。

m	Am	Bm
0	$1\,$	$0\,$
1	$x\,$	$y\,$
2	$x^{2}-y^{2}\,$	$2xy\,$
3	$x^{3}-3xy^{2}\,$	$3x^{2}y-y^{3}\,$
4	$x^{4}-6x^{2}y^{2}+y^{4}\,$	$4x^{3}y-4xy^{3}\,$
5	$x^{5}-10x^{3}y^{2}+5xy^{4}\,$	$5x^{4}y-10x^{2}y^{3}+y^{5}\,$

参考文献

• Steinborn, E. O.; Ruedenberg, K. (1973). “Rotation and Translation of Regular and Irregular Solid Spherical Harmonics”. Advances in quantum chemistry. 7. Academic Press. pp. 1–82. ISBN 9780080582320 
• Thompson, William J. (2004). Angular momentum: an illustrated guide to rotational symmetries for physical systems. Weinheim: Wiley-VCH. pp. 143–148. ISBN 9783527617838