ウィルティンガーの微分

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ヴィルヘルム・ヴィルティンガー

一変数および多変数の複素解析において、ウィルティンガーの微分: Wirtinger derivative, ときに Wirtinger operator[1] とも)は、複素多変数関数論に関する研究において1927年に導入したヴィルヘルム・ヴィルティンガー英語版 (Wilhelm Wirtinger) の名前にちなんでおり、正則関数反正則関数英語版、あるいは単に複素領域上の微分可能な関数に適用したときに、1つの実変数英語版に関して通常の微分と非常によく似た振る舞いをする、一階の偏微分作用素である。これらの作用素によって、そのような関数に対する微分学の、実変数関数英語版に対する通常の微分学と完全に類似した、構成ができる[2]

導入[編集]

複素数 zC を実部と虚部に分解して z = x + iy と書き、C の適当な領域 G 上の実可微分関数 f = u + iv: GC に対し、偏微分

を考えることができる。座標関数として x, y ではなく z = x + iy, z = xiy を考えるとき、これとは別の偏微分作用素としてヴィルティンガー微分が定義されるが、複素数値関数を実部と虚部に明示的に分けずとも計算できるため扱いはより平易なものとなる。

可微分関数 f全微分 df偏微分を用いて

と書くとき、z = x + iy, z = xiy とすれば微分小に関して

であり、これをもとの全微分に代入して整理したものを形式的に

と書けば、各係数

ヴィルティンガー微分と呼ばれるものである[3]。しばしば fz および fz をそれぞれ f および f とも書き、また作用素 コーシー–リーマン作用素とも呼ばれる。

定義[編集]

一変数の場合[編集]

定義1. 複素平面 を考えよう。ウィルティンガーの微分は次の一階線型偏微分作用素として定義される:

明らかに、これらの偏微分作用素の自然な定義域領域 上の 級関数の空間であるが、これらの作用素は線型であり定数係数であるから、超関数の各空間にただちに拡張できる。

多変数の場合[編集]

定義2. 複素数体上のユークリッド空間 を考えよう。ウィルティンガーの微分は次の一階行列線型偏微分作用素として定義される:

一変数のときと同様これらの偏微分作用素の自然な定義域は領域  ⊆ ℝ2n 上の 級関数の空間であるが定数係数の線型作用素のため超関数の空間へと拡張できる。

基本的な性質[編集]

この節以降 複素ベクトルであり ただし 実ベクトルn ≥ 1 とする。また、部分集合 は ℝ2n あるいは ℂn の領域とする。証明は全て定義1定義2、そして(常あるいは偏)微分の対応する性質の容易な結果である。

線型性[編集]

補題1. とし、複素数とすると、 に対して、以下の等式が成り立つ

積の法則[編集]

補題2. であれば、 に対して、積の微分法則が成り立つ

この性質によってウィルティンガーの微分はちょうど通常の微分のように抽象代数学的視点の微分であることに注意。

チェインルール[編集]

これは一変数と多変数とで異なる:n > 1 に対して完全な一般性でチェインルールを表現するには2つの領域 および と自然な滑らかさの要求を満たす2つの関数 および を考える必要がある[4]

一変数の場合[編集]

補題3.1 および であれば、チェインルールが成り立つ

多変数の場合[編集]

補題3.2 および であれば、 に対し、以下の形のチェインルールが成り立つ

共役[編集]

補題4. であれば、 に対して、以下の等式が成り立つ

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  • f(z) が zz多項式であるとき、z, z を独立変数と思って形式的に偏微分すればよい。例えば、
  • f正則であるとき、f ′ = ∂f である。
  • コーシー・リーマンの方程式が成り立つことと、f = 0 となることは同値である。
  • = ∂ = (1/4)Δ, ここで Δ = ∂2/∂x2 + ∂2/∂y2ラプラシアン
    • 正則関数を実部・虚部に分け f = u + iv とすると、Δf = 4∂f = 0, したがって Δu + iΔv = 0 となるから、Δu = Δv = 0, すなわち uv調和であることがわかる。

関連項目[編集]

脚注[編集]

  1. ^ See references Fichera 1986, p. 62 and Kracht & Kreyszig 1988, p. 10.
  2. ^ ウィルティンガーの微分の基本的な性質のいくつかは、常(あるいは偏)微分を特徴づけ、通常の微分学の構成するために使われるのと同じものである。
  3. ^ もちろん記号 偏微分を意味するものではないが、ヴィルティンガー微分は、zz を独立変数であるかのように扱えば、通常の変数変換の公式を形式的に適用したものと同一であるし、後述のように偏微分と同様の性質も持つ。
  4. ^ See Kaup & Kaup 1983, p. 4 and also Gunning 1990, p. 5: Gunning considers the general case of functions but only for p = 1. References Andreotti 1976, p. 5 and Gunning & Rossi 1965, p. 6, as already pointed out, consider only holomorphic maps with p = 1: however, the resulting formulas are formally very similar.

参考文献[編集]