ロドリゲスの回転公式

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三次元回転におけるロドリゲスの回転公式: Rodrigues' rotation formula)とは、ベクトル空間において、与えられた回転軸に対して回転を行うための効率的なアルゴリズムを指す。またこの公式は、任意の3つの基底ベクトルに対する、SO(3) 群上の回転行列を用いた変換の軸角度表現を与えている。つまり、この式は so(3)SO(3)リー代数)からSO(3)への指数写像を、行列の指数関数を計算せずに与えるアルゴリズムとなっている。

性質[編集]

R3 上のベクトル v, 回転軸を表す単位ベクトル n, 右手の法則に基づく回転角度 θ に対して、ロドリゲスの回転公式は次の様に与えられる。

他の表現として、回転面を表すゼロでないベクトル a, b に対する軸ベクトルとして クロス積 a × b を用いることができる。このとき、回転角 θa から離れた、もしくは b に向けた角として表せる。2つのベクトルがなす角を α とすると、θ と同様の意味を α に与えることができる(ただし2つは必ずしも一致しない)。このとき、単位軸ベクトルは次のようにかける。

もし回転面を表すベクトルが事前にわかっている場合は、この形式を用いる。 物理学における例として、トーマスの歳差運動が挙げられる。