ランキン・ユゴニオの式

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ランキン・ユゴニオの式(ランキン・ユゴニオのしき、: Rankine-Hugoniot equation)、またはランキン・ユゴニオ関係式とは、垂直衝撃波の通過前後における物理量の関係を表す次の式のことである[1]

\begin{align}
& \frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{u_1}{u_2} = \frac{(\gamma-1)+(\gamma+1)p_2/p_1}{(\gamma+1)+(\gamma-1)p_2/p_1} \\
& \frac{T_2}{T_1} = \frac{a_2^2}{a_1^2} = \frac{p_2}{p_1}\cdot\frac{(\gamma+1)+(\gamma-1)p_2/p_1}{(\gamma-1)+(\gamma+1)p_2/p_1}
\end{align}

ここで

ρ:流体の密度、[kg/m3]
u :流速、[m/s]
p圧力、[ Pa ]
T温度、[ K ]
a音速、[m/s]
γ:比熱比
添字の1,2は衝撃波の上流、下流の意味

である。

これらの関係式は、衝撃波の前後の状態だけを、その内部構造に立ち入ることなく関係付けることができる点に特徴がある。

ウィリアム・ランキンが1870年に発表し、ピエール=アンリ・ユゴニオがそれを知らないまま1887年にランキンと同様の結果を報告した[2]

物理的仮定[編集]

ランキン・ユゴニオの式を導出するにあたっては、以下の仮定を置いている:

  • 垂直衝撃波:平面衝撃波がその面に垂直な方向に伝播しており、流れは1次元的である。
  • 定常:波面に固定した座標系を用い、流れは時間変化しないものとする。
  • 衝撃波の前後はいずれも一様な状態である。
  • 流体は非粘性理想気体であり、かつ状態変化は断熱過程とする。

導出のための基礎方程式[編集]

保存則[編集]

上述の物理的仮定のもとで、流体の状態は以下の連続の式運動量保存則およびエネルギー保存則によって記述される。

\begin{align}
& \frac{\partial\rho}{\partial t} = -\frac{\partial(\rho u)}{\partial x} \\
& \frac{\partial(\rho u)}{\partial t} = -\frac{\partial}{\partial x}(\rho u^2+p) \\
& \frac{\partial(\rho E)}{\partial t} = -\frac{\partial}{\partial x}\left[\rho u\left(e+\frac{1}{2}u^2+\frac{p}{\rho}\right)\right]
\end{align}

ここで

e :比内部エネルギーもしくは比エンタルピー、[J/kg]
E = e+\frac{1}{2}u^2 :総エネルギー、[J/kg]

である。さらに定常なので時間微分項は 0 になるなどの仮定を用いてこれらを積分すると、以下の式が得られる:

\begin{align}
& Q \equiv \rho u = \rm{constant} \\
& \rho u^2 + p = \rm{constant} \\
& pu + Q\left(\frac{u^2}{2}+e\right) = \mathrm{constant}
\end{align}

構成方程式[編集]

さらに、理想気体の仮定から、

\begin{align}
& e = c_v T \\
& a = \sqrt{\gamma p/\rho} = \sqrt{\gamma RT}
\end{align}

の関係がある。cv は比熱、R気体定数である。

以上の式から、ランキン・ユゴニオの式は導かれる。

一般式[編集]

理想気体の仮定を外すと、ランキン・ユゴニオの式はエンタルピーh を用いて以下のように表される[2]

h(p_2,v_2)-h(p_1,v_1) = \frac{1}{2}(v_1+v_2)(p_2-p_1)

ここで、v = 1/ρ は比体積である。

参考文献[編集]

  1. ^ 巽友正 『流体力学』 (1版) 培風館、1982年、224頁。ISBN 4-563-02421-X 
  2. ^ a b 永田雅人 『高速流体力学』 森北出版、2010年、5, 74頁。ISBN 978-4-627-67361-8 

関連項目[編集]