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ラミの定理(ラミのていり、英語: Lami's theorem)は、静力学における定理[1]。考案者は、フランスの数学者、神学者ベルナール・ラミ(Bernard Lamy、1640年-1715年)である。
1点に作用する3つの力F1 , F2 , F3 が釣り合い状態にあるならば、その大きさと作用線のなす角の間に次式が成り立つ。
![{\displaystyle {\frac {F_{1}}{\sin \theta _{1}}}={\frac {F_{2}}{\sin \theta _{2}}}={\frac {F_{3}}{\sin \theta _{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dead341f3167cfddf3e677acfae991e6985f0c83)
ここで、θ1 はF2 とF3 の成す角、θ2 はF3 とF1 の成す角、θ3 はF1 とF2 の成す角である。
座標系を用いる証明[編集]
F1 の向きにx 軸をとると、それぞれの力は次のように表される。
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} _{1}&=(F_{1},0)\\\mathbf {F} _{2}&=(F_{2}\cos \theta _{3},F_{2}\sin \theta _{3})\\\mathbf {F} _{3}&=(F_{3}\cos \theta _{2},-F_{3}\sin \theta _{2})\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa53196474360ef8baac67ea83e27d68cd7366b4)
これらの力が釣り合っているから、その和のy 成分を考えれば
![{\displaystyle {\frac {F_{2}}{\sin \theta _{2}}}={\frac {F_{3}}{\sin \theta _{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8019e7c64f77c09e64c2964ec0caa75788567621)
が成り立つ。
F1 /sinθ1 についても、F2 の向きにx 軸を取り直し同様のことを考えればよい。
正弦定理を用いる証明[編集]
3つのベクトルF1 , F2 , F3 を、三角形ができるよう配置しなおす。この三角形に対し正弦定理を適用すると、
![{\displaystyle {\frac {F_{1}}{\sin(\pi -\theta _{1})}}={\frac {F_{2}}{\sin(\pi -\theta _{2})}}={\frac {F_{3}}{\sin(\pi -\theta _{3})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/771954d50f0e444e4a1ecdcb84062d2ad0f5aa28)
が成り立つ。sin(π-θ) = sinθであることを考えればラミの定理が成り立つ。
- ^ 青木 弘・木谷 晋、『工業力学(第3版)』森北出版、1994年、18頁
参考文献[編集]
青木 弘・木谷 晋、『工業力学(第3版)』森北出版、1994年、ISBN 4-627-61022-X
外部リンク[編集]