メーソン・ストーサーズの定理

メーソン・ストーサーズの定理 (Mason–Stothers theorem) または単にメーソンの定理 (Mason's theorem) は多項式に関する数学の定理であり、類似するものに整数についてのABC予想がある。

この定理の名前は、この定理を1981年に発表したW. Wilson Stothers^[1]と、続いてすぐに再発見したR. C. Mason^[2]から取られている。

定理の主張[編集]

$a(t)$ , $b(t)$ , $c(t)$ は、 $a+b=c$ を満たす互いに素な（共通零点がない）複素数係数の多項式とする。このとき次の関係が成り立つ：

\max\{\deg a,\deg b,\deg c\}<\deg \operatorname {rad} abc

ここで、 $\operatorname {rad} f$ は $f$ と同じ根を持つ最小次数の多項式であり、

\operatorname {rad} f=\prod _{f(\alpha )=0}(t-\alpha )

である。α は f の相異なる零点である。つまり、 $\deg \operatorname {rad} f$ は $f$ の相異なる根の個数を意味する^[3]。

^ Stothers, W. W. (1981), “Polynomial identities and hauptmoduln”, Quarterly J. Math. Oxford, 2 32: 349–370 .
^ Mason, R. C. (1984), Diophantine Equations over Function Fields, London Mathematical Society Lecture Note Series, 96, Cambridge, England: Cambridge University Press
^ Lang, Serge (2002). Algebra. New York, Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. p. 194. ISBN 0-387-95385-X

Weisstein, Eric W. "Mason's Theorem". mathworld.wolfram.com (英語).
Mason-Stothers Theorem and the ABC Conjecture, Vishal Lama. A cleaned-up version of the proof from Lang's book.