フェンシェルの双対性定理

数学においてフェンシェルの双対性定理（フェンシェルのそうついせいていり、英: Fenchel's duality theorem）は、ウェルナー・フェンシェル（英語版）の名にちなむ、凸函数の理論における一結果である。

ƒ を Rⁿ 上の真凸函数とし、g を Rⁿ を真凹函数とする。このとき、正則性の条件が満たされるなら、

\min _{x}(f(x)-g(x))=\max _{p}(g_{\star }(p)-f^{\star }(p))\,

が成り立つ。ここで ƒ^* は ƒ の凸共役（フェンシェル＝ルジャンドル変換とも呼ばれる）であり、g_* は g の凹共役である。すなわち、次が成り立つ。

f^{\star }\left(x^{*}\right):=\sup \left\{\left.\left\langle x^{*},x\right\rangle -f\left(x\right)\right|x\in \mathbb {R} ^{n}\right\}

g_{\star }\left(x^{*}\right):=\inf \left\{\left.\left\langle x^{*},x\right\rangle -g\left(x\right)\right|x\in \mathbb {R} ^{n}\right\}

数学的定理

X と Y をバナッハ空間とし、 $f:X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ と $g:Y\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ を凸函数とし、 $A:X\to Y$ を有界線型作用素とする。このとき、フェンシェルの問題とは

p^{*}=\inf _{x\in X}\{f(x)+g(Ax)\}

d^{*}=\sup _{y^{*}\in Y^{*}}\{-f^{*}(A^{*}y^{*})-g^{*}(-y^{*})\}

が弱双対性を満たす、すなわち $p^{*}\geq d^{*}$ が成立することを言う。ここで $f^{*},g^{*}$ はそれぞれ f,g の凸共役であり、 $A^{*}$ は共役作用素であることに注意されたい。この双対問題に対する摂動函数は $F(x,y)=f(x)+g(Ax-y)$ で与えられる。

f,g および A は次のいずれかを満たす。

f と g は下半連続で、 $0\in \operatorname {core} (\operatorname {dom} g-A\operatorname {dom} f)$ 。ここで $\operatorname {core}$ は代数的内部であり、 $\operatorname {dom} h$ はある函数 h に対する集合 $\{z:h(z)<+\infty \}$ である。