代数的内部

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数学の一分野である函数解析学において、ベクトル空間の部分集合の代数的内部(だいすうてきないぶ、: algebraic interior)あるいは動径核(radial kernel)は、集合の内部を細緻化する概念である。与えられた集合の代数的内部とは、その集合に属する点であって、その点を原点としてもとの集合が併呑となるような点、すなわちその集合の動径点英語版[1]の全体である。代数的内部の元は、しばしば(代数的)内点(internal points)と呼ばれる[2][3]

具体的に、線型空間であるとき、 の代数的内部は次で定義される。

[4]

一般に であることに注意されたい。しかし 凸集合であるなら、 である。また が凸集合であるときは、 に対して が成立する。

[編集]

で与えられるなら、 である。しかし、 および である。

性質[編集]

であるなら、次が成り立つ。

  • 併呑集合であるための必要十分条件は、 である[1]
  • [5]
  • [5] であるなら、 である[5]

内部との関係[編集]

線型位相空間とし、 を内部作用素とし、 とする。このとき次が成り立つ:

  • が空でない凸集合で、 が有限次元であるなら、 である[2]
  • が凸集合で、その内部が空でないなら、である[6]
  • が閉凸集合で、完備距離空間であるなら、である[7]

関連項目[編集]

参考文献[編集]

  1. ^ a b Jaschke, Stefan; K?uchler, Uwe (2000). Coherent Risk Measures, Valuation Bounds, and ()-Portfolio Optimization. 
  2. ^ a b Aliprantis, C.D.; Border, K.C. (2007). Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide (3 ed.). Springer. pp. 199–200. doi:10.1007/3-540-29587-9. ISBN 978-3-540-32696-0. 
  3. ^ John Cook (1988年5月21日). “Separation of Convex Sets in Linear Topological Spaces (pdf)”. 2015年5月26日閲覧。
  4. ^ Nikolaĭ Kapitonovich Nikolʹskiĭ (1992). Functional analysis I: linear functional analysis. Springer. ISBN 978-3-540-50584-6. 
  5. ^ a b c Zălinescu, C. (2002). Convex analysis in general vector spaces. River Edge, NJ,: World Scientific Publishing  Co., Inc. pp. 2–3. ISBN 981-238-067-1. MR 1921556. 
  6. ^ Shmuel Kantorovitz (2003). Introduction to Modern Analysis. Oxford University Press. p. 134. ISBN 9780198526568. 
  7. ^ Bonnans, J. Frederic; Shapiro, Alexander (2000), Perturbation Analysis of Optimization Problems, Springer series in operations research, Springer, Remark 2.73, p. 56, ISBN 9780387987057, http://books.google.com/books?id=ET70F9HgIpIC&pg=PA56 .