フェイェールの定理

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数学におけるフェイェールの定理(フェイェールのていり、: Fejér's theorem)とは、ハンガリー数学者リポート・フェイェール英語版の名にちなむ定理である。f:R → C周期 2π の連続函数であるなら、そのフーリエ級数部分和 (sn) のチェザロ平均の列 (σn) は、[-π,π] 上一様f に収束する。

(sn) を具体的に書くと、

s_n(x)=\sum_{k=-n}^nc_ke^{ikx}

となる。ただし

c_k=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)e^{-ikt}dt,

である。また (σn) は

\sigma_n(x)=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}s_k(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x-t)F_n(t)dt,

であり、Fn は第 n 次のフェイェール核を表す。

より一般的な形式において、この定理は必ずしも連続でない函数に対しても応用されている (Zygmund 1968, Theorem III.3.4)。fL1(-π,π) に属するものと仮定する。f(x) の x0 における左極限および右極限 f(x0±0) が存在するか、いずれの極限も同符号の無限大であるなら、次が成り立つ:

\sigma_n(x_0) \to \frac{1}{2}\left(f(x_0+0)+f(x_0-0)\right).

チェザロ平均の存在あるいは無限大への発散も、この関係式は意味している。マルツェル・リースのある定理によると、フェイエールの定理は (C, 1) 平均 σn がフーリエ級数の (C, α) 平均 に変えられても、同様に成立する。

参考文献[編集]