ビネ・コーシーの恒等式

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代数学におけるビネ・コーシーの恒等式 (びね・こーしーのこうとうしき、: Binet–Cauchy identity)とは、ジャック・フィリップ・マリー・ビネ英語版および オーギュスタン=ルイ・コーシーに由来する以下の恒等式[1]

のことである。ここで、実数複素数(より一般的には可換環)を表す。

ci = ai および di = bi とすれば、実数に対するラグランジュの恒等式英語版が得られる。これはユークリッド空間 におけるコーシー=シュワルツの不等式を強化したものである。

証明[編集]

右辺第2項を展開すると

となり、残りの項が導かれる。(第一式から第二式の導出に乗算可換性を用いている。)

ビネ・コーシーの恒等式とスカラー4重積[編集]

n = 3, のとき

すなわち、クロス積スカラー四重積の公式

が得られる。(この式をビネ・コーシーの恒等式ということもある。)

この式をスカラー三重積の性質を使って変形すれば

ベクトル三重積の公式が得られる。

また、c = a, d = b とおくと、

と、ベクトル解析におけるラグランジュの恒等式が得られる。

一般化[編集]

以下の定理はコーシー・ビネの公式として知られている一般化である:

n自然数とし、集合 {1,...,n } を [n ] と表記する。 m を非負整数として、Am ×n行列Bn ×m の行列とする。 S を [n ] からm 個を選んだ部分集合とし、 ASAn 個のからS に含まれる添字のを取り出して得られたm ×m 行列、 BSBn 個のからS に含まれる添字のを取り出して得られたm ×m 行列とする。

m ×m 行列である積AB行列式

で表せる。ただし、和において、S は{1,...,n } の要素数m の部分集合のすべてを取るとする。

特別な場合として、m =2として

を適用すれば

となり、ビネ・コーシーの恒等式が得られる。

出典[編集]

  1. ^ Eric W. Weisstein (2003). “Binet-Cauchy identity”. CRC concise encyclopedia of mathematics (2nd ed.). CRC Press. p. 228. ISBN 1-58488-347-2. http://books.google.com/books?id=8LmCzWQYh_UC&pg=PA228. 

関連文献[編集]

  • 伊理正夫・韓太舜 『線形代数 行列とその標準形』 教育出版〈新しい応用の数学16〉、1977年6月。ISBN 4-316-37670-5

関連項目[編集]