ヒルベルトの定理90

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数学、特に体論において、ヒルベルトの定理90 (Hilbert's Theorem 90) は、巡回拡大に関する重要な定理である。

ステートメント[編集]

K/kn 次巡回拡大で、そのガロワ群G とし、σ が G を生成するとする。このとき、β∈K に対して、ノルム NK/k(β) が 1 であることと、ある 0≠α∈K が存在して β=α/σα となることは同値である。

加法版[編集]

K/kn 次巡回拡大で、そのガロワ群を G とし、σ が G を生成するとする。このとき、β∈K に対して、トレース TrK/k(β) が 0 であることと、ある α∈K が存在して β=α−σα となることは同値である。

群コホモロジーを用いた表現[編集]

K/k有限次ガロワ拡大G をそのガロワ群とする。このとき

が成り立つ。

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K/k を2次拡大 とする。ガロア群は位数2の巡回群であり、生成元 σ は複素共役である。

K の元 はノルム を持つ。 ノルムが1の元は の有理数解,もしくは単位円上の有理数点に対応する。 ヒルベルトの定理90によるとノルムが1の元 y は整数 cd で次のように表すことができる。

これは単位円上の有理数点のパラメーター付けを表している。 単位円上の有理数点を満たすピタゴラス数を表す。

関連項目[編集]

参考文献[編集]