ハミルトンベクトル場

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ハミルトンベクトル場は、ハミルトン形式解析力学、 およびシンプレクティック幾何学に登場するベクトル場。

ハミルトンベクトル場は系の時間発展に幾何学的な解釈を与える: 相空間上の系の時間発展は、ハミルトンベクトル場のフローに一致する。 すなわち、Hをハミルトニアンとし、(q(t),p(t))をHに関する正準方程式の解とするとき、 (q(t),p(t))はハミルトンベクトル場の\, X_H \, の積分曲線\exp(tX_H)に一致する。


定義[編集]

(M,\omega)シンプレクティック多様体とする。 M上の滑らかな関数 f \in C^{\infty}(M)に対して、

 \mathsf{d}f= \omega(X_{f},\cdot)

を満たすM上のベクトル場\, X_{f} \,が唯一つ定まる。 (\, X_{f} \,の存在性はシンプレクティック形式ωが非退化である事と外積代数の一般論から従う。)

Hハミルトニアンとするとき、 ベクトル場 \, X_H \,\, H \,から定まる ハミルトンベクトル場という。

ハミルトンベクトル場\, X_H \,ダルブー座標 (q_{1},\cdots,q_{n},p_{1},\cdots,p_{n})を用いて表すと、

 
X_H = \sum_{i=1}^{n}
\left( \frac{\partial H}{\partial p_{i}} \frac{\partial}{\partial q_{i}}
-\frac{\partial H}{\partial q_{i}} \frac{\partial}{\partial p_{i}} \right)

と書ける。ここで、Mの次元は 2n であるとした。

性質[編集]

  • fXf の対応は線型であるので、ハミルトン関数の和は対応するハミルトンベクトル場の和へ変換される。
\dot{q}^i = \frac {\partial H}{\partial p_i}
\dot{p}_i = - \frac {\partial H}{\partial q^i}.
  • ハミルトニアン H は積分曲線に沿って定数である。理由は、\langle dH, \dot{\gamma}\rangle = \omega(X_H(\gamma),X_H(\gamma)) = 0 であるからである。すなわち、H(γ(t)) は実際 tとは独立である。この性質は、ハミルトン力学におけるエネルギー保存則と対応する。
  • さらに一般的には、2つの関数 FH が 0 であるポアソンの括弧しか持たないとき、FH の積分曲線に沿って定数であり、同様に、HF の積分曲線に沿って定数である。この事実はネーターの定理の背後にある抽象的な数学的原理である。

ポアソンの括弧[編集]

ハミルトンベクトル場の考え方は、シンプレクティック多様体 M 上の微分可能函数にかかる歪対称な双線型形式を導く。すなわり、式

\{f,g\} = \omega(X_g, X_f)= dg(X_f) = \mathcal{L}_{X_f} g

で定義されるポアソンの括弧である。ここに、\mathcal{L}_X はベクトル場 X' に沿ったリー微分を表す。さらに、次の恒等式が得られる。

 X_{\{f,g\}}= [X_f,X_g]\ .

ここに右辺はハミルトニアン fg を持つハミルトンベクトル場のリー微分を表す。結果として(ポアソンの括弧の証明より)、ポアソンの括弧はヤコビ恒等式

 \{\{f,g\},h\}+\{\{g,h\},f\}+\{\{h,f\},g\}=0,

を満す。この等式は、ポアソンの括弧を持つ M 上の微分可能函数のベクトル空間は、 上のリー代数の構造を持ち、対応関係 fXfリー代数準同型英語版(Lie algebra homomorphism)であり、は局所定数函数(M が連結であれば定数函数)定数函数からなることを示している。

参考文献[編集]