チェビシェフの不等式

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チェビシェフの不等式(チェビシェフのふとうしき)は、不等式で表される、確率論の基本的な定理である。パフヌティ・チェビシェフにより初めて証明された。

標本あるいは確率分布は、平均のまわりに、ある標準偏差をもって分布する。この分布と標準偏差の間に、どのような標本・確率分布でも成り立つ関係を示したのが、チェビシェフの不等式である。例えば、平均から 2標準偏差以上離れた値は全体の 1/4 を超えることはなく、一般にn標準偏差以上離れた値は全体の 1/n2 を超えることはない。

一般的表現[編集]

この不等式は測度論を使って一般的に述べることができ、それから特別の場合(測度空間次元が 1)として、確率論での形が導かれる。

測度論的表現[編集]

(X,Σ,μ) を測度空間、fX 上で定義された拡張実数無限大を含む)値可測関数とすると、任意の実数 t > 0 に対して

\mu(\{x\in X\,:\,\,|f(x)|\geq t\}) \leq {1\over t^2} \int_X f^2 \,d\mu

となる。より一般的には、 g が非負実数値可測関数で、 f の範囲で減少しないとすれば、

\mu(\{x\in X\,:\,\,f(x)\geq t\}) \leq {1\over g(t)} \int_X g\circ f\, d\mu

となる。最初の式は、ここでg(t) を

g(t)=\begin{cases}t^2&\mbox{if}~~~t\geq0\\0&\mbox{otherwise,}\end{cases}

で定義し、f の代わりに |f| を用いれば導かれる。

確率論的表現[編集]

X を、期待値がμ、有限の分散がσ2である確率変数とすると、任意の実数k > 0に対して

\Pr(\left|X-\mu\right|\geq k\sigma)\leq\frac{1}{k^2}

ただしk > 1 の場合にだけ意味がある。

例として、 k=√2 を使えば、少なくとも半数の値は区間 (μ − √2 σ, μ + √2 σ)内に存在することがわかる。

チェビシェフの不等式は大数の法則(弱法則)の証明に用いられるものとして特に重要である。

応用例[編集]

わかりやすい例として、大量の文書があるとしよう。その文章の長さは平均1000文字、標準偏差は200文字であることがわかっているとしよう。するとチェビシェフの不等式から、少なくとも75%の文章が600から1400文字の長さであることが導かれる(k = 2 の場合)。

証明[編集]

測度論的な証明[編集]

AtAt = {xX| f(x) ≥ t} で定義し、

1_{A_t}

を集合 At指示関数とすると、簡単にわかるように

0\leq g(t)1_{A_t}\leq g\circ f\,1_{A_t}\leq g\circ f

であり、従って

g(t)\mu(A_t)=\int_X g(t)1_{A_t}\,d\mu\leq\int_{A_t} g\circ f\,d\mu\leq\int_X g\circ f\,d\mu

となる。上の不等式をg(t)で割れば、目的の不等式が得られる。

確率論的な証明[編集]

任意の実数ランダム変数 Y と任意の正の実数 a に対して、マルコフの不等式から Pr(|Y| > a)≤ E(|Y|)/a であることがわかる。 a = (σk)2 として、確率変数 Y = (X − μ)2 にマルコフの不等式を適用することで、チェビシェフの不等式が証明できる。

また直接証明する方法もある。事象 A に対しIAA の指示関数に従う確率変数である(つまり A が起これば IA は 1 に等しく、そうでなければ 0 である)とする。すると

\Pr(|X-\mu| \geq k\sigma) = \operatorname{E}(I_{|X-\mu| \geq k\sigma})= \operatorname{E}(I_{[(X-\mu)/(k\sigma)]^2 \geq 1})

\leq \operatorname{E}\left( \left( {X-\mu \over k\sigma} \right)^2 \right) = {1 \over k^2} {\operatorname{E}((X-\mu)^2) \over \sigma^2} = {1 \over k^2}

と証明される。