確率の公理

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コルモゴロフの公理は、1933年にアンドレイ・コルモゴロフが導入した確率論の基礎となる公理である[1]。これらの公理は依然として確率論の基盤となっており、数学、物理科学、および現実世界の確率の事例の理解にとり重要である[2]ベイジアン的確率を形式化する代替的アプローチは、コックスの定理英語版によって与えられる[3]

コルモゴロフによる公理系[編集]

まず、コルモゴロフ自身による公理系を解説し、次節で現代の定義について解説する。

は、根元事象と呼ばれる要素の集合、の部分集合から構成される族であり、その要素は事象と呼ばれる。 上の集合関数とする。以下の5公理を満たすような系を確率空間と呼ぶ[4]

1. は有限個の要素による 集合和集合差共通部分について閉じている[注釈 1]
2. を含む。すなわち[注釈 2]
3. は非負の実数値をとる。すなわち、
4.
5. 互いに素な集合(Disjoint sets)ならば、有限加法性

さらにが無限集合の場合には次の連続牲の公理を導入する[5]

6. の減少列が、 を満たすならば、

公理5と6より、次の一般化加法定理(完全加法牲)が導かれる[6]

一般化加法定理
は、 互いに素な集合可算列であり、 とすると は下記を満たす。

一般化加法定理を満たすような を含む最小の完全加法族(σ-集合体)上の非負かつ完全加法的な集合関数に一意的に拡張可能である[7]

公理[編集]

以上の議論をまとめて、現代では以下のように要約する[注釈 3]

は任意の集合、 上の完全加法族(σ-集合体)(あるいは有限加法族)、 上の集合関数とする。 が次の3条件を満すとき、上の確率測度となり、は標本空間、 は事象空間と呼ばれる。

第一の公理[編集]

ある事象の確率は非負の実数となる。

ここでは事象空間である。従っては、一般の測度とは対照的に常に有限の値をとる。負の確率を取る理論では、第一の公理は緩和される。

第二の公理[編集]

これは、単位測度英語版の仮定である。すなわち、標本空間全体において、少なくとも1つの根源事象が起こる確率は1となる。

第三の公理[編集]

これは、 σ-加法性の仮定である.

互いに素な集合(Disjoint sets)の任意の可算個の列(排反事象英語版と同義)は、下記を満たす。

単に有限加法的な確率空間を考えている研究者もおり、この場合、 完全加法族ではなく有限加法族であることだけが要求される[8]。一般に、偽確率分布英語版は第三の公理を緩和する。

結果[編集]

コルモゴロフの公理から、確率を研究する上でその他の有用な法則を演繹することができる。これらの法則の証明[9][10][11]は、第三の公理の力と、残りの2つの公理との相互作用を深い洞察をもって描き出す手順となる。即座に導ける4つの系とその証明を以下に示そう。

単調性[編集]

AがBの部分集合かまたは等しい場合、Aの確率はBの確率以下となる。

単調性の証明[9][編集]

単調性を検証するため、 と置き、に対してであるとする。集合族が互いに素であり、となることは自明である。したがって、第三の公理から次が得られる。

なぜなら、第一の公理により、この方程式の左辺は非負の項からなり、有限の値に収束するため、および がどちらも得られる。

空集合の確率[編集]

一部の場合において、は確率0である唯一の事象ではない。

空集合の確率の証明[編集]

ひとつ前の証明で示されている通り、 である。ただし、このステートメントは背理法で示される。仮にであるとすると、左辺のは発散する。 つまり、

である場合、合計は有限の値をとるの値を超えないため、矛盾が生じる。故に、 。単調性の証明の副産物として、 を示した。

余事象の法則[編集]

余事象の法則の証明[編集]

与えられたは排反であり、 である。よって、

...(公理3に従う)

そして、 ... (公理2に従う)

数値の限界[編集]

単調性から即座に次が従う。

有界性の証明[編集]

与えられた余事象の法則公理1 により

その他の性質[編集]

もう一つの重要な性質は下記である。

これは、確率の加算法則、または和の法則と呼ばれる。つまり、AまたはBが起こる確率は、Aが起こる確率とBが起こる確率の和からAとBの両方が起こる確率を引いたものである。この証明は次の通りである。

まず、

... (公理3による)

であるから、

であるため)。

また、

そしてを両方の方程式から除けば、求める結果が得られる。

加算法則の任意の数の集合への拡張は、包除原理である。

また、加算法則においてBをAの補数Acとすると

つまり、事象が発生しない確率(または事象の補集合)は、1から発生する確率を引いたものであり、余事象の法則と同じ結果が得られる。

簡単な例:コイントス[編集]

一回のコイントスを考え、コインが表(H)または裏(T)のいずれかで着地するものとする(両方は起きえない)。コインが公正であるかどうかに関して仮定はしない。

この場合、下記のように定義できよう。

コルモゴロフの公理から次がわかる。

表でも裏でもない確率は0となる。

表か裏かいずれかの確率は、1となる。

また、上記の通り、表の確率と裏の確率の合計は1である。

参照項目[編集]

注釈[編集]

  1. ^ コルモゴロフはこのような系を「集合体」と呼んでいるが、これだけの条件では補集合について閉じていることは言えないので、現代の意味での集合体とは異なる。
  2. ^ この条件を加えることにより、は、現代の意味での集合体になる。
  3. ^ 以下は通常の確率論のテキストには大抵最初に書かれている内容であるが、参考文献の代表として、(伊藤 1953, p. 1)を揚げておく

出典[編集]

  1. ^ Kolmogorov (1933), pp. 2-3,14-18
  2. ^ Aldous. “What is the significance of the Kolmogorov axioms?”. David Aldous. 2019年11月19日閲覧。
  3. ^ Terenin Alexander; David Draper (2015). Cox's Theorem and the Jaynesian Interpretation of Probability. arXiv:1507.06597. Bibcode2015arXiv150706597T. https://archive.org/details/arxiv-1507.06597. 
  4. ^ Kolmogorov (1933), pp. 2-3
  5. ^ Kolmogorov (1933), p. 14
  6. ^ Kolmogorov (1933), p. 15
  7. ^ Kolmogorov (1933), p. 17
  8. ^ Hájek (2019年8月28日). “Interpretations of Probability”. Stanford Encyclopedia of Philosophy. 2019年11月17日閲覧。
  9. ^ a b Ross, Sheldon M. (2014). A first course in probability (Ninth ed.). Upper Saddle River, New Jersey. pp. 27, 28. ISBN 978-0-321-79477-2. OCLC 827003384 
  10. ^ Gerard (2017年12月9日). “Proofs from axioms”. 2019年11月20日閲覧。
  11. ^ Jackson (2010年). “Probability (Lecture Notes - Week 3)”. School of Mathematics, Queen Mary University of London. 2019年11月20日閲覧。

参考文献[編集]