巡回数

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巡回数(じゅんかいすう、Cyclic Number)とは、2倍、3倍、4倍...と乗算したとき(あるいは同じ数を連続して加算したとき)に、その各桁の数を順序を崩さずに巡回させた数になる、整数のことである。ダイヤル数とも。

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十進法において代表的な、142857で計算した例を示す。

  • 142857×1=142857
  • 142857×2=285714
  • 142857×3=428571
  • 142857×4=571428
  • 142857×5=714285
  • 142857×6=857142

となる。また、

  • 142857×7=999999

この数は 1.0 ÷ 7.0 が 0.142857142857142857... という循環小数になることと関連がある( 0.142857142857142857... × 7.0 = 0.999... = 1.0 であることにも注目)。詳細は外部リンクのMathWorld等を参照。

このような数は、他に588235294117647、52631578947368421、434782608695652173913等がある。(オンライン整数列大辞典の数列 A180340)

巡回数となる p -1 桁の循環節となる分数の分母は 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109,…である。 (オンライン整数列大辞典の数列 A001913)

  • 巡回数となる分数の分母は素数である。ただし p -1 桁未満の 9 の列で割り切れると巡回数とはならない。
例.13は素数であるが は巡回数をもつ分数ではない。これは 999999 ÷ 13 = 76923 と割り切れるからである。

8倍以降(142857)[編集]

8倍以上では崩れてしまうように思えるが、次のように、

  • 142,857×8=1,142,856→1を6に加える→142,857
  • 142,857×9=1,285,713→1を3に加える→285,714
  • 142,857×10=1,428,570→1を0に加える→428,571
  • 142,857×11=1,571,427→1を7に加える→571,428
  • 142,857×12=1,714,284→1を4に加える→714,285
  • 142,857×13=1,857,141→1を1に加える→857,142
  • 142,857×14=1,999,998→1を8に加える→999,999
  • 142,857×15=2,142,855→2を5に加える→142,857
  • 142,857×16=2,285,712→2を2に加える→285,714

となる。このように、一番左の桁の数を一番右の桁の数に加えるという操作を行うと、また142,857の順序が現れる。

これは、より大きい数でも成り立つ。

  • 142,857×71=10,142,847→左2桁の10を残りの142,847に加える→142,857
  • 142,857×52,989,018=7,569,852,144,426→右から6桁ずつ 7、569,852、144,426 と区切ってそれぞれを足す→714,285

複数のサイクル[編集]

1/13 の循環節である 076923 は巡回数ではないが、1-12倍すると以下の2グループに分けることができる。

  • 076923× 1=076923
  • 076923× 3=230769
  • 076923× 4=307692
  • 076923× 9=692307
  • 076923×10=769230
  • 076923×12=923076
  • 076923× 2=153846
  • 076923× 5=384615
  • 076923× 6=461538
  • 076923× 7=538461
  • 076923× 8=615384
  • 076923×11=846153

合成数の逆数でも巡回する場合がある。012345679は 81 の逆数の循環節であり、似たような性質がある。

  • 12345679×19=234567901
  • 12345679×28=345679012
  • 12345679×37=456790123
  • 12345679×46=567901234
  • 12345679×55=679012345
  • 12345679×64=790123456
  • 12345679×73=901234567
  • 12345679×82=1012345678→012345679
  • 12345679×91=1123456789→123456790

10進数以外の巡回数[編集]

10進数以外においても巡回数を考えることができる。いくつか例を挙げる。

2進数における 0011(=3) は巡回数である。

  • 0011×001=0011
  • 0011×010=0110
  • 0011×011=1001
  • 0011×100=1100

5進数における 032412(=2232) は巡回数である。

  • 032412×1=032412
  • 032412×2=120324
  • 032412×3=203241
  • 032412×4=241203
  • 032412×5=324120
  • 032412×6=412032

12進数における 2497(=4147) は巡回数である。

  • 2497×1=2497
  • 2497×2=4972
  • 2497×3=7249
  • 2497×4=9724
  • 底が平方数の場合、2桁以上の巡回数は存在しない。

外部リンク[編集]