セール双対性

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代数幾何学という数学の分野において,セール双対性(セールたいしょうせい、Serre duality)は, n 次元の非特異射影代数多様体 V(あるいはより一般的にベクトル束やさらに連接層)に関する双対性である.それはコホモロジーHi が別のもの Hni双対空間である述べている.

滑らかなコンパクト複素多様体 V 上の正則ベクトル束 E に対する場合は,主張は

であり,V は射影的である必要はない.

代数曲線[編集]

代数曲線の場合は既にリーマン・ロッホの定理に含まれている.曲線 C に対して coherent 群 Hii > 1 に対して消える;しかし H1 は一般には非自明である.実際,定理の基本関係式は l(D)l(KD) に関わり,ここで D因子であり K標準類の因子である.セール以降我々は l(KD)H1(D) の次元と認識している,ただし今 D は因子 D によって決定される直線束を意味する.つまり,この場合のセール双対性は群 H1(D)H0(KD*) を関係づけ,次元の関係が分かる(表記:K は標準直線束,D* は双対直線束,並置は直線束のテンソル積).

この定式化において,リーマン・ロッホの定理は層のオイラー標数英語版

h0(D) − h1(D),

を曲線の種数

h1(C,OC),

D の次数のことばで計算したものと見ることができる.高次元に一般化できるのはこの形である.

したがって曲線のセール双対性は非常に古典的なものではあるが,興味深い観点を持っている.例えば,リーマン面の理論において,複素構造の変形理論英語版は古典的に quadratic differential英語版(すなわち L(K2) の切断)を用いて研究される.小平邦彦D. C. Spencer英語版 の変形理論は H1(T) を通した変形を同一視する,ここで T接束K* である.双対性はなぜこれらのアプローチが一致するかを示す.

起源と一般化[編集]

理論の起源は多変数複素関数論に関するセールの先の研究にある.アレクサンドル・グロタンディークの一般化において,セール双対性ははるかに広い設定における coherent 双対性英語版の一部となる.V が多様体のとき上の K の役割は一般のセール双対性では余接束行列式束によってなされ,完全に一般には KV非特異性のなんらかの仮定なしではただ1つの層ではありえない.完全に一般的な定式化は導来圏Ext 関手を使うことで,K が層の鎖複体,すなわち dualizing complex英語版 によって表されることが可能となる.それにもかかわらず,定理の主張は recognisably セールのものである.

参考文献[編集]