ウィーンの変位則

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各温度における黒体輻射のエネルギー密度の波長ごとのスペクトル

ヴィーンの変位則(ウィーンのへんいそく、: Wien's displacement law)とは、黒体からの輻射のピークの波長が温度に反比例するという法則である。ヴィルヘルム・ヴィーンによって発見された。ヴィーンはドイツの物理学者であるため「ヴィーン」が正しい名称となるが、慣習的に英語読みのウィーンの変位則とよばれることも多い。

\lambda_\text{max}=\frac{b}{T}

ここでT は黒体の温度(K)、\lambda_\text{max} はピーク波長(m)、b は比例定数で

b= 69972897772900000002.8977729(17)×103 K·m

である[1]。CGS単位系では b は約 0.29 ㎝·K である。

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物体の温度が高ければ、放射される波長は短くなる。例えば、太陽の表面温度 5780 K の場合ピーク波長は 500 nm にある。 白熱電球をみると、温度の低い時、黄色っぽい光になりさらに温度が低い時赤くみえる(色温度も参照)。

導出[編集]

ヴィルヘルム・ヴィーンによって発見されたが、プランクの式から導くことができる。

プランクの式によると、黒体輻射の分光エネルギー密度u は次式で表される:

u(\lambda,T)=\frac{8\pi hc}{\lambda^5}\,\frac{1}{e^{hc/\lambda kT}-1}

波長の最大値\lambda_\text{max} を求めるために、波長分布 u(\lambda) をλで偏微分して、0 になる波長を求めればよい。

\partial_{\lambda}u(\lambda_\mathrm{max})=8\pi hc\left(\frac{hc}{kT{\lambda_\text{max}}^7}\frac{e^{hc/\lambda_\text{max}kT}}{\left(e^{hc/\lambda_\text{max}kT}-1\right)^2}-\frac{1}{{\lambda_\mathrm{max}}^6}\frac{5}{e^{hc/\lambda_\text{max}kT}-1}\right)=0
\therefore\frac{hc}{\lambda_\mathrm{max}kT}\,\frac{1}{1-e^{-hc/\lambda_\text{max}kT}}-5=0

ここでx\equiv hc/\lambda_\mathrm{max}kTとすると、

\frac{x}{1-e^{-x}}-5=0

となる。この方程式は解析的には解けないが、ランベルトのW関数を用いて、

 x = W(-5e^{-5})+5

と表現することができる。これを数値計算すると、

x\approx4.965114231744276

となる。x から\lambda_\text{max} を求めると、b\equiv hc/kx として、

\lambda_\text{max}=\frac{b}{T}

を得る。

別の導出[編集]

振動数で表示されたプランクの公式

R(\nu)=\frac{8\pi h}{c^3}\frac{\nu^3}{e^{h\nu/kT}-1}

を用いても、同様の導出が可能である。この場合、x\equiv{h\nu_\mathrm{max}/kT}

\left(3-x\right)e^x=3

を満たすものであり、やはり解析的には解けないが、数値計算により

x\approx 2.8214

とわかる。したがってピークにおける振動数は

\nu_{\mathrm{max}}=\frac{kx}{h}T=(5.8789 \times 10^{10}\,\text{Hz/K})\,T

となる。\lambda_\text{max}\cdot\nu_\text{max}=cではないことに注意が必要である。

脚注[編集]

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出典
  1. ^ CODATA 2014, Wien wavelength displacement law constant”. NIST (2015年6月25日). 2015年7月5日閲覧。

関連項目[編集]