折紙の数学

折紙の数学（おりがみのすうがく）では、折り紙に関連した数学について記述する。

紙を折り曲げる芸術である折り紙に対しては、様々な数学的研究が行われてきた。古くから関心をもたれる分野は、作品を傷めることなく折紙作品を平らに折り畳むことができるかどうか (flat-foldability) と、紙を折ることで数学の方程式を解くことができるかどうかなどである。現代数学の研究対象としては、一度は自明な数学の応用例とみなされたが、20世紀最後の四半世紀にはコンピュータによる表現の対象として、また離散数学の研究対象として、そして技術革新の必要から改めて脚光を浴びた。

折紙に関わる数学的探求活動を折り紙による作品づくりと区別するため、芳賀和夫は1994年の第2回折り紙の科学国際会議において世界共通語である折り紙 (origami) に数学 (mathematics) などの学術・技術を表す語尾 (-ics) を合わせてオリガミクス (origamics) という名称を提唱した。海外でも話題になったが、この名称それ自体は紙を切って折りして作る立体origamicの複数形と混同されるため、定着しなかった。

純粋な折り紙

定規とコンパスによる作図の問題で、長い間解くことのできなかった問題があるが、そのうちいくつかは不可能と証明された。不可能と証明されたうち、角の三等分と立方体倍積の問題は、折り紙においては不自然ではない操作によって解く事が出来る。また、折り紙を用いた4次方程式までの方程式の解法が発見されている。一般に定規とコンパスによる作図に対応する操作が折り紙にもあることはよく知られているが、定規とコンパスの範囲を越える操作について、考察がおこなわれており、特に藤田文章らによる折り紙公理は、この分野の研究に非常に役立っている。

幾何学的原理の応用による折紙研究の結果、芳賀定理などの方法で折紙は正方形の一辺を3分の1、5分の1、7分の1、および9分の1に正確に折ることが可能となった。また他の定理と方法をもちいれば、折紙で正方形から、三角形、五角形、六角形のような正多角形を作ること、更に黄金長方形や白銀長方形のような特殊な長方形を作ることが可能である。

マーシャル・ベルン (Marshall Bern) とバリー・ヘイズ (Barry Hayes) は山折りや谷折りの指定が無い折り図が与えられたとき、それを平面に折りたためるかどうかはNP完全問題であると証明した。更に詳しい情報や技術的結果についてはGeometric Folding AlgorithmsのPart IIを参照。

川崎定理によると、ある作品が平らに折りたためるかどうかの必要十分条件は、その展開図においてそれぞれの交点の周りにある全ての角の数列$a_{1},\ldots ,a_{2n}$が条件$a_{1}+a_{3}+\cdots +a_{2n-1}=a_{2}+a_{4}+\cdots +a_{2n}=180^{\circ }$を満たすことである。言い換えると、交点を囲む角の一つおきの角度の和が$180^{\circ }$に等しいことである。

関連した問題

剛体折紙の問題は、折り目を板金のような硬い2つの平面を接合する蝶番のようなものとして扱うものであるが、これは大いに実用的な意義がある。例をあげると、ミウラ折りは、人工衛星の大きなソーラー・パネル配列を効果的に折り畳み、展開するなどといった応用が研究されている剛体折紙である。

平らな紙は表面のどの点においてもガウス曲率が0（即ち可展面）である。よって折り目は本来曲率0の直線である。しかし濡れた紙や指の爪でしわをつけた紙など、平らでなくなった紙においては最早この曲率の条件はあてはまらない。曲線折りによる曲線折り紙は、（非常に難しい）一連の数学の課題をもたらす。曲線折り紙により、紙に平面でない可展面を作ることができる。

高次元の折り紙を考えることもできる。通常の折り紙は裏表のある2次元平面を3次元空間内で1次元直線で折るものである。これを一般化すると、$n+1$次元空間内で、$n$次元の超平面を、$n-1$次元の面で折ることになる。例えば、4次元空間で、3次元空間という紙を折るとき折り線の役割は通常の平面がなす。このような4次元折り紙では、その局所構造は球面の平坦折り紙と同じものになる。

1方向へ半分に紙を折るための損失関数は$L={\tfrac {\pi t}{6}}(2^{n}+4)(2^{n}-1)$で表される。ここで$L$は紙（もしくは他の素材）の最小限の長さ、$t$は素材の厚さ、そして$n$は可能な折り目の数である。この関数は当時まだ高校生だったブリトニー・ギャリヴァン (en) によって2001年に与えられた。ギャリヴァンはどんなに大きい紙でも最大でも8回しか折り曲げられないだろうという当時の俗信に反し、12回半分に折り曲げることに成功した。

エアバッグの折り畳みや医療用のステントグラフトへの応用も研究されている。

歴史

幾何学の歴史の中でユークリッド幾何学に代わる新たな作図法が無いか研究され、1896年にスンダラ・ロー (Sundara Row) が紙の折り目に注目し幾何学の分野での研究を著した「折紙の幾何学的演習」を出版した。この本は当時、あまり注目されなかったが後にドイツの数学者フェリックス・クラインの目に留まりこの分野の研究に注目が集まった。

1924年、C・A・ラップの「折紙の操作」、1935年と1936年にはマルガリータ・ピアツォラ・ベロック (Margarita Piazzolla Belloc) の論文「幾何の問題を折紙で解く」、「3次と4次の方程式を折紙で解く」が後に続いたが、その後研究は一時下火になった。日本では1970年代に数セミに伏見康治による幾何学と折り紙に関する記事が掲載され、1979年に単行本『折り紙の幾何学』が刊行されている。1989年12月、イタリアで行われた第1回折り紙の科学国際会議が行われたことで再び注目を浴びることになった。このとき出された会報は現代の折紙に対する研究に大きく寄与し、編者ベネデット・シメーミ (Benedetto Scimemi) と共同研究者藤田文章はこの分野の研究の草分けとなった。

参考文献

• 『折り紙の幾何学』伏見康治
• オリガミクスI【幾何図形折り紙】（芳賀和夫著、日本評論社、1999年10月10日）
• オリガミクスII【紙を折ったら,数学が見えた】（芳賀和夫著、日本評論社、2005年8月30日）
• 多面体の折紙－正多面体・準正多面体およびその双対－（川村みゆき著、日本評論社、1995年12月10日）
• Kazuo Haga edited by Josefina C Fonacier and Masami Isoda. Origamics: Mathematical Explorations through Paper Folding, World Scientific, NJ, 2008. ISBN 978-981-283-489-8

関連項目

• 三浦公亮
• 伏見康治
• 前川淳
• 川崎敏和
• 立石浩一
• 芳賀和夫
• 羽鳥公士郎

外部リンク

• 折紙探偵団
• K's 折り紙・羽鳥公士郎
• 折紙の数学・加藤渾一
• 角の三等分
• Weisstein, Eric W. "Folding". mathworld.wolfram.com (英語).
• TT's Origami Page
• Origami Mathematics Page by Dr. Tom Hull
• Rigid Origami by Dr. Tom Hull
• Origami & Math by Eric M. Andersen
• Paper Folding Geometry at en:cut-the-knot
• Dividing a Segment into Equal Parts by Paper Folding at en:cut-the-knot
• Britney Gallivan has solved the Paper Folding Problem
• Folding Paper - Great Moments in Science - ABC
• Origami & geometry in English and in French
• Origami & geometry in English and in Hebrew
• TEDカンファレンス動画
  • ロバート・ラングが全く新しい時代の折り紙を折る