力学的エネルギー

力学的エネルギー（りきがくてきエネルギー、Mechanical energy）とは、運動エネルギーと位置エネルギー（ポテンシャル）の和のことを指す。

保存力の場での質点の運動では力学的エネルギー（運動エネルギーと位置エネルギー(ポテンシャル)の和）が一定となる。これを、力学的エネルギー保存の法則（力学的エネルギー保存則）と言う。

これを式で書くと次のようになる。ただし、運動エネルギーを K 、ポテンシャルを U 、力学的エネルギーを E とする。

$K+U=E\,$

一般にこれが保存するとき(即ち、保存力のみが仕事をし、非保存力が仕事をしないとき)によく使われる概念である。エネルギーが保存する場合、エネルギーの総和は初期条件で決まる。運動エネルギー K は、

$K={\frac {m}{2}}v^{2}>0$

なので、

$U=E-K<E\,$

となり、ポテンシャルの範囲が決まってしまう。ポテンシャルは位置に依存する量なので、これは運動の領域が決まることになる。ポテンシャルの概形が分かれば運動の様子がある程度推測できる。例えば、調和振動のポテンシャルは、

${\frac {k}{2}}(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})^{2}$

である。( x₀ は振動中心の位置ベクトル)これは変位の二乗の形になっている。これを知っているならば、ポテンシャルの底が x² の形になっている場合は単振動をすることが分かる。単振り子のポテンシャルは三角関数で書ける。

$U=A(1-\mathrm {cos} \theta )=A({\frac {\theta ^{2}}{2}}-{\frac {\theta ^{4}}{4!}}+\cdots )$

十分に振幅が小さいときには単振動で近似できることが分かる。

力学的エネルギーは、熱力学での内部エネルギー（摩擦などを通してやりとりされる）や他のエネルギーに変わりうる。この場合、力学的エネルギーの保存は成立しなくなるが、エネルギー全体としては保存している。つまりこの場合は、より広義の意味でエネルギーは保存している（→エネルギー保存の法則）。

力学的エネルギーの散逸

保存力でない力を非保存力という。非保存力が仕事をする場合、力学的エネルギーは保存しない。 具体的な非保存力の例は、

動摩擦力

$-\mu {\hat {\mathbf {v} }}$

粘性抵抗力

$-\gamma \mathbf {v} =-\gamma v{\hat {\mathbf {v} }}$

慣性抵抗力

$-\beta v\mathbf {v} =-\beta v^{2}{\hat {\mathbf {v} }}$

ただし、$v=\left|\mathbf {v} \right|$、${\hat {\mathbf {v} }}=\mathbf {v} /v$である。

一般に非保存力fは、

• $\mathbf {f} =-f(v){\hat {\mathbf {v} }}$

と表される。(f(v)>0)

運動方程式

$m{\dot {\mathbf {v} }}=-\nabla U+\mathbf {f}$

である。 この式の両辺に速度をかけると、

$m{\dot {\mathbf {v} }}\cdot \mathbf {v} =-(\nabla U)\cdot \mathbf {v} +\mathbf {f} \cdot \mathbf {v}$
${\frac {d}{dt}}({\frac {1}{2}}mv^{2})=-{\frac {dU}{dt}}-f(v)v$
${\frac {d}{dt}}E=-f(v)v$

力学的エネルギーの時間変化率は、-f(v)vである。非保存力が仕事をすると、力学的エネルギーは必ず減少する。 非保存力により力学的エネルギーが減少することをエネルギーの散逸という。

関連項目

• 力学
• ポテンシャル