力学的エネルギー

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力学的エネルギー(りきがくてきエネルギー、Mechanical energy)とは、運動エネルギー位置エネルギーポテンシャル)の和のことを指す[1]

保存力の場での質点の運動では力学的エネルギー(運動エネルギーと位置エネルギー(ポテンシャル)の和)が一定となる。これを、力学的エネルギー保存の法則(力学的エネルギー保存則)と言う[2]

これを式で書くと次のようになる。ただし、運動エネルギーを K 、ポテンシャルを U 、力学的エネルギーを E とする。

 K+U=E \,

一般にこれが保存するとき(即ち、保存力のみが仕事をし、非保存力が仕事をしないとき)によく使われる概念である。エネルギーが保存する場合、エネルギーの総和は初期条件で決まる。運動エネルギー K は、

 K = \frac{m}{2}v^2 > 0

なので、

 U = E - K < E \,

となり、ポテンシャルの範囲が決まってしまう。ポテンシャルは位置に依存する量なので、これは運動の領域が決まることになる。ポテンシャルの概形が分かれば運動の様子がある程度推測できる。例えば、調和振動のポテンシャルは、

 \frac{k}{2}\,(\mathbf{x} - \mathbf{x}_0)^2

である。( x0 は振動中心の位置ベクトル)これは変位の二乗の形になっている。これを知っているならば、ポテンシャルの底が x2 の形になっている場合は単振動をすることが分かる。単振り子のポテンシャルは三角関数で書ける。

 U = A(1 -  \mathrm{cos}\,\theta) = A \left( \frac{\theta^2}{2}-\frac{\theta^4}{4!} + \cdots \right)

十分に振幅が小さいときには単振動で近似できることが分かる。

力学的エネルギーは、熱力学での内部エネルギー摩擦などを通してやりとりされる)や他のエネルギーに変わりうる。この場合、力学的エネルギーの保存は成立しなくなるが、エネルギー全体としては保存している。つまりこの場合は、より広義の意味でエネルギーは保存している(→エネルギー保存の法則)。

力学的エネルギーの散逸[編集]

保存力でない力を非保存力という。非保存力が仕事をする場合、力学的エネルギーは保存しない。 具体的な非保存力の例は、

動摩擦力
-\mu \hat{\mathbf{v}}
粘性抵抗力
-\gamma \mathbf{v}=-\gamma v \hat{\mathbf{v}}
慣性抵抗力
-\beta v \mathbf{v}=-\beta v^2 \hat{\mathbf{v}}

ただし、v=\left| \mathbf{v} \right|\hat{\mathbf{v}}=\mathbf{v}/vである。

一般に非保存力f(f(v)>0)として、

\mathbf{f}=-f(v) \, \hat{\mathbf{v}}

と表される。

運動方程式
 m \dot{\mathbf{v}}= -\nabla U + \mathbf{f}

である。 この式の両辺に速度をかけると、

 m \dot{\mathbf{v}} \cdot \mathbf{v}= -(\nabla U)\cdot \mathbf{v} + \mathbf{f} \cdot \mathbf{v}
 \frac{d}{dt}\!\left(\frac{1}{2}\,mv^2\right) = -\frac{dU}{dt} - f(v)\, v
 \frac{d}{dt}E = -f(v)\,v

力学的エネルギーの時間変化率は、-f(v)\,vである。非保存力が仕事をすると、力学的エネルギーは必ず減少する。 非保存力により力学的エネルギーが減少することをエネルギーの散逸という。

脚注[編集]

  1. ^ 原康夫『物理学通論 I』 学術図書出版、2004年、p58
  2. ^ 原康夫『物理学通論 I』 学術図書出版、2004年、pp92-93

関連項目[編集]