与えられた数より小さい素数の個数について

『与えられた数より小さい素数の個数について』（あたえられたすうよりちいさいそすうのこすうについて^[1]、ドイツ語の原題: Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe, 英語での定訳: On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude）は、19世紀のドイツの数学者であるベルンハルト・リーマンが1859年に発表した論文である。同年の学術誌『ベルリン学士院月報』(Monatsberichte der Königlich Preußischen Akadademie der Wissenschaften zu Berlin) 上に掲載された。解析や幾何学の分野における業績が多かったリーマンが数論の分野で唯一発表した論文であり、わずか8ページしかなかったが、数々の画期的な内容を含み、後世に甚大な影響を及ぼした。特に解析的整数論においては、本論文は同分野の基本文献とされている。内容的には、この論文はあるべき大論文の要約版・研究速報と見なすことができたが、リーマン自身は7年後の1866年に39歳の若さで没したため、本論文の詳細版が出版されることはついになかった。もし詳細版が出版されていれば、関連分野の研究は70年は短縮されただろうという指摘がある^[2]。

本論文には6個の予想が含まれていたが、リーマン没後、うち5つまでは後の数学者達によって証明が与えられた。最後に残されたのがリーマン予想であり、これは数論における最も重要な未解決問題の一つとされている。

この論文の影響はあまりに大きかったため、例えば複素数の表記方法として普通は z = x + iy（特に z = 1/2 + iy）と書くところを、ゼータ関数の非自明な零点を論じる場合に限っては、本論文にちなんで s = 1/2 + it と書く習慣がある^[3]。また、「リーマンのゼータ関数」という名称も、元々オイラーが導入した関数であるにもかかわらず、本論文でリーマンが記号 ζ(s) を用いて記述したことから以後定着した。

導入された新定義

リーマンゼータ関数 ζ(s) の s = 1 を除く全複素平面への解析接続
整関数 ξ(t)^[4]
離散関数 J(x)^[5]

記載された証明又は証明のあらまし

ζ(s) の関数等式についての二通りの証明
ξ(t) の積表示^[6]の証明のあらまし（1896年にアダマール (en) が完全に証明）
ξ(t) の零点のうち虚部が 0 と T の間であるものの近似的な個数についての証明のあらまし（1905年にフォン・マンゴルド (en) が完全に証明）
リーマンの素数公式の証明のあらまし（1895年にフォン・マンゴルドが完全に証明）

提起された予想

リーマン予想：「ξ(t) の全ての零点は実数である」。α を ξ(t) の零点として、ζ(s) の負の偶数を除く零点は 1/2 + iα と書けるので、これは次のよく知られた形に言い換えられる。「ζ(s) の非自明な零点の実部は 1/2 に等しい」

導入された新たな技法等

解析接続（ただしワイエルシュトラス流のものとは異なる）
線積分 (contour integral)
フーリエ逆変換

リーマンはまた関数 J(x) を本質的にスティルチェス積分 (en) の尺度として用い、ζ(s) と素数分布との関連を論じた。そして ln(ζ(s)) との比較を通じて、論文の主結果として J(x) を定式化した。リーマンは更に進んで、一部に困難が残ることを認めつつ、素数の数を与える関数 π(x) の近似公式の導出を試みた。素数分布をある程度正確に記述する素数定理は、後の1896年にド・ラ・ヴァレー・プーサンとアダマールによって独立に示された。もしリーマン予想が証明されれば、さらに精密な素数分布が導かれることが知られている。

参考文献

Harold M. Edwards, Riemann's Zeta Function, Dover Publications, 2001. ISBN 0-486-41740-9

日本語訳

平林幹人訳「与えられた数より小さい素数の個数について」（鹿野健編『リーマン予想』日本評論社、1991年。ISBN 4-535-78181-8 17-28頁）
杉浦光夫訳「与えられた限界以下の素数の個数について」（足立恒雄・杉浦光夫・長岡亮介編『リーマン論文集』朝倉書店、2004年。ISBN 4-254-11460-5 155-162頁）

脚注

[脚注の使い方]

^ 訳は上記文献の平林幹人による。
^ 黒川信重『ゼータの世界』（梅田亨・若山正人・中島さち子との共著）日本評論社 ISBN 453578261X、ISBN-13 978-4535782617
^ s = σ + it と書く習慣はエトムント・ランダウ (1903年) から始まる。
^ s = 1/2 + it として
$\xi (t)=\Gamma \left({\frac {s}{2}}+1\right)(s-1)\pi ^{-s/2}\zeta (s)\,$
で定義する。ここに、Γ はガンマ関数である。現代においてよく用いられる ξ（ゼータ関数参照）とは異なることに注意。
^ 原論文では f(x) と表されている。x ≥ 0 で定義され、J(0) = 0 かつ J(x) は素数の冪 pⁿ 毎に 1/n ずつ飛び飛びの値をとる。
^ ξ の積表示とは、次の等式のこと。
$\xi (t)=\xi (0)\prod _{\alpha }\left(1-{\frac {t^{2}}{\alpha ^{2}}}\right)$
ここに α は ξ の零点で、実部が正であるものをわたる。

外部リンク

[1] 訳は上記文献の平林幹人による。

[2] 黒川信重『ゼータの世界』（梅田亨・若山正人・中島さち子との共著）日本評論社 ISBN 453578261X、ISBN-13 978-4535782617

[3] s = σ + it と書く習慣はエトムント・ランダウ (1903年) から始まる。

[4] s = 1/2 + it として
$\xi (t)=\Gamma \left({\frac {s}{2}}+1\right)(s-1)\pi ^{-s/2}\zeta (s)\,$
で定義する。ここに、Γ はガンマ関数である。現代においてよく用いられる ξ（ゼータ関数参照）とは異なることに注意。

[5] 原論文では f(x) と表されている。x ≥ 0 で定義され、J(0) = 0 かつ J(x) は素数の冪 pⁿ 毎に 1/n ずつ飛び飛びの値をとる。

[6] ξ の積表示とは、次の等式のこと。
$\xi (t)=\xi (0)\prod _{\alpha }\left(1-{\frac {t^{2}}{\alpha ^{2}}}\right)$
ここに α は ξ の零点で、実部が正であるものをわたる。

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