多様体の射

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代数幾何学では、アフィン多様体の間の正則写像(regular map)とは、多項式により定義される写像のことを言う。具体的には、X と Y をそれぞれアフィン空間 AnAm部分多様体(あるいは、代数的部分集合)とする。X から Y への正則写像 f は f = (f_1, \dots, f_m) という形をしている。ここに f_i は I を X を定義するイデアルとしてときの k[x_1, \dots, x_n]/I であるので、像 f(X) は Y の中にある。つまり、Y の定義方程式を満たす[1]

より一般的には、2つの代数多様体の間の写像 f:X→Y が、点 x で正則とは、x の近傍 U と、f(x)の近傍 V が存在し、制限函数 f:U→V が正則とは U と V の座標貼り合わせ英語版(coordinate patch)の上の函数として正則函数であるときを言う。そして f が正則とは、X の全ての点で正則であることを言う。

多様体の間の射(morphism)は必然的に連続写像である。

特に、Y が A1 に等しい場合は、写像 f:X→A1正則函数(regular function)と呼ばれ、微分幾何学スカラー函数英語版(scalar function)に対応する。言い換えると、スカラー函数が点 x で正則とは、分数が x では 0 とならないような x の近傍での有理函数(つまり、多項式の分数)である。正則函数の環英語版(ring of regular functions)(つまり、座標環英語版(coordinate ring)、もしくは、構造層大域切断の環)はアフィン代数幾何学での基本的対象である。連結射影多様体上の正則函数は定数だけであり、このことは複素解析リウヴィルの定理の代数的類似物と見なすことができる。このように、通常は、射影多様体の場合、替わりに直線束(もしくは、因子)の大域切断と考える。

事実、既約な英語版(irreducible)代数曲線 V の代数多様体の函数体 k(V) を取ると、函数体の函数 F は、k 上の射影直線英語版(projective line)への V からの射として実現できるかもしれない。 像は、一点であるかまたは、射影直線全体かのどちらかである(このことは射影多様体の完全性英語版(completeness of projective varieties)の結果である)。すなわち、函数 F は実際に定数でなければ、F に V のある点で値 ∞ を寄与させる必要がある。さて、ある意味で、F はどこよりもこれらの点で悪い振る舞いはしなく、∞ はまさに選ばれた射影直線上の無限遠点であり、メビウス変換を使うことでどこでも移動することができる。しかし、ある方法は定数でしか終わらないため、函数の対象としてアフィン直線のみを扱う幾何学では不十分なことがある。

正則写像は、定義により、代数多様体の圏英語版(category of algebraic varieties)のである。特に、アフィン多様体の間の正則函数は、座標環の間の環準同型と 1:1 に反変的に対応する。

逆も正則であるような正則写像を双正則写像と言い、代数多様体の圏では同型である。基礎となる位相空間の間の同相となる代数多様体の間の射は、必ずしも同型とは限らない(反例としては、フロベニウス写像 t \mapsto t^p により与えられる)。他方、f が双有理な全単射であり、f の対象空間が正規多様体英語版(normal variety)であれば、f は双正則である。(ザリスキーの主定理英語版(Zariski's main theorem)を参照。)

何故ならば、正則や双正則であるという条件は、非常に限定された条件であり、射影空間には定数でない正則函数は存在しないので、有理函数双有理写像といったより弱い条件が頻繁に使われる。

f が多様体間の射であれば、f の像はその閉包稠密部分集合を含んでいる(構成的集合英語版(constructible set)を参照)。

複素代数多様体英語版(complex algebraic varieties)間の正則写像(regular map)は正則写像(holomorphic map)である。(少しテクニックの差異があり、正則写像とは除去可能な特異点英語版(removable singularities)を持つ正則写像であるが、差異は実際は無視される。)特に、複素数への正則写像は、まさに普通の正則函数(複素解析的函数)である。

参照項目[編集]

参考文献[編集]

  1. ^ この定義はおそらく最も単純な定義であり、より伝統的な定義に一致する。Milne, Proposition 3.16 を参照