フロベニウス自己準同型

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可換環論体論では、フロベニウス自己準同型(Frobenius endomorphism)(フェルディナント・ゲオルク・フロベニウス(Ferdinand Georg Frobenius)の名前にちなむ)は、素な標数 p をもつ可換の特別な自己準同型英語版(endomorphism)のことを言い、有限体を含むクラスで重要である。自己準同型写像は、全ての元を p-乗冪へ写像する。ある脈絡では、自己同型(automorphism)として正しいこともあるが、一般には正しくはない。

定義[編集]

R を標数 p の可換環(例えば、素数の標数をもつ整域)とする。フロベニウス自己準同型 F は、R の任意の元 r に対し、

F(r) = r^p

により定義される。明らかに、R の乗法性から、

F(rs) = (rs)^p = r^ps^p = F(r)F(s)

が成り立ち、F(1) は明らかに再度 1 となる。しかしながら、一方で、 R の加法性についても、興味深いことが言える。表現 (r + s)p二項定理を使い表すことができる。p は素数であるので、p! を割ることができるが、q < p に対しいかなる q! も割ることはできない。従って、1 ≤ k ≤ p − 1 であれば、pは次の二項係数の式により、、

\frac {p!}{k! (p-k)!}

の分子を割ることはできるが、分母を割ることはできない。

従って、 rpsp を除く全ての項の係数は、標数である p で割り切れ、それらはなくなる。[1] このように、

F(r + s) = (r + s)^p = r^p + s^p = F(r) + F(s)

となる。このことは、F が環準同型であることを示している。

φ : R → S が標数 p の環準同型であれば、

\phi(x^p) = \phi(x)^p

が成り立つ。FRFS がそれぞれ RS のフロベニウス準同型であれば、この式は

\phi \circ F_R = F_S \circ \phi

と書き換えることができ、このことは、フロベニウス準同型は標数 p の環のカテゴリから自分自身への自然な函手(変換)である。

Rべき零英語版(nilpotent)元を持たないと、フロベニウス準同型は単射となる。つまり、F(r) = 0rp = 0 を意味し、定義により r は多くとも p のオーダーのべき零である。事実、べき零であるということと同値である。なぜならば、r がべき零であれば多くともべきの一つが p のオーダーのべき零であるからである。特に、R が体であれば、フロベニウス準同型は単射となる。φ : R → S が標数 p の環準同型であれば、

\phi(x^p) = \phi(x)^p

となる。

フロベニウス写像は、R が体であるときでさえ、全射である必要はない。例えば、K = Fp(t) を超越元を一つ持つ p 個の元の有限体とする。同じことだが、KFp に係数を持つ有理函数の体とすると、F の像は t を含まない。もし像を含むとすると、有理函数体 q(t)/r(t) が存在し、その p-番目のべき q(t)p/r(t)pt と等しくなってしまう。しかし、この p-番目のべきの次数は p deg(q) − p deg(r) であり、p の倍数である。特に、1 ではありえないので、t の次数である。このことは矛盾であるから、tF の像ではない。

K完全英語版(perfect)とは、標数が 0 であるか、もしくは、正の標数でしかもフロベニウス自己準同型が自己同型の場合を言う。例えば、全ての有限体は完全である。

フロベニウス準同型の不動点[編集]

有限体 Fp を考える。フェルマーの小定理により、Fp の全ての元 x は、xp = x を満たす。同じことであるが、多項式 Xp − X の根である。従って、Fp の元は、この方程式の p の根を決定し、この方程式は次数 p であるので、いかなる体の拡大に対しても p の根の数はこれ以上ふえるこはない。特に、KFp 代数拡大(代数的閉包、または他の有限体のような)であれば、FpK のフロベニウス自己同型の固定する体である。

R を標数 p > 0 の環とする。R が整域であれば、同じ理由でフロベニウス準同型の不動点は素体の元である。しかしながら、R が整域でないと、Xp − Xp 個以上の根を持つかもしれない。例えば、R = Fp × Fp のとき、このようなことが起きる。

同じような性質が、フロベニウス自己同型の e 番目の繰り返しにより有限体 \mathbf{F}_{p^e} の上にある。\mathbf{F}_{p^e} のすべての元は、X^{p^e} - X の根であるので、K\mathbf{F}_{p^e} の代数拡大であり、FK フロベニウス自己同型であれば、Fe の固定された拡大体は \mathbf{F}_{p^e} である。R が\mathbf{F}_{p^e}-代数であるような整域であれば、フロベニウス自己同型の e 番目の繰り返しの固定点は \mathbf{F}_{p^e} の像の元である。

フロベニウス写像の繰り返しは、R の中の元の列をもたらす。

x, x^p, x^{p^2}, x^{p^3}, \ldots.

この繰り返しの列は、フロベニウス閉包英語版(Frobenius closure)やイデアルのきつい閉包英語版(tight closure)の定義に使われる。

ガロア群の生成元として[編集]

有限体の拡大のガロア群(Galois group)は、フロベニウス自己同型の繰り返しにより生成される。まず、基礎体が素体の場合を考える。q = pe として Fqq 個の元を持つとする。Fq のフロベニウス自己同型 F は素体 Fp を固定するので、ガロア群 Gal(Fq/Fp) の元である。実際、このガロア群は巡回群であり、F は生成元である。F のオーダーは e である。何故ならば、F e は、元 xxq へ写すことにより作用するので、これは Fq の単位元である。Fq の全ての自己同型群は F のべきで、生成元は e に互いに素な i に対して、べき F i である。

ここで有限体 Fq fFq の体の拡大と考える。Fq f のフロベニウス自己同型 F は、基礎体 Fq を固定しないが、その e-番目の繰り返し F e を固定する。ガロア群 Gal(Fq f /Fq) は位数 f の巡回群で、F e により生成される。この群は Gal(Fq f /Fp) の部分群で、F e により生成される。Gal(Fq f /Fq) の生成元は、べき F ei である。ここの i は、f と互いに素である。

フロベニウス自己同型は、絶対ガロア群英語版(absolute Galois group)

\operatorname{Gal} \left (\overline{\mathbf{F}_q}/\mathbf{F}_q \right )

の生成元ではない。何故ならば、このガロア群は、

\widehat{\mathbf{Z}} = \textstyle\varprojlim_n \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}

であり、巡回群ではない。しかしながら、フロベニウス自己同型は Fq の全ての有限拡大のガロア群の生成元ではないので、絶対ガロア群の全ての有限商の生成元である。結局、絶対ガロア群の上の普通のクルル位相でのトポロジカルな生成元である。

スキームのフロベニウス[編集]

スキームのフロベニウス写像の定義方法にはいくつかの異なる方法がある。絶対フロベニウス写像は最も基本的である。しかし、絶対フロベニウス写像は、ベーススキームに注意を払わないので、相対的な状況下ではうまい振る舞いをしない。相対的状況下でフロベニウス写像が適用する方法はい来るかの異なる方法があり、それぞれ有用である場合が異なっている。

絶対フロベニウス写像[編集]

X を標数 p > 0 のスキームとする。 X のアフィン開集合 U = Spec A を選ぶ。環 AFp-代数であるので、フロベニウス自己準同型を持つ。VU のアフィン開集合とすると、フロベニウスの自然性により、V上へ制限したときの U 上のフロベニウス写像は V 上のフロベニウス写像である。結局、フロベニウス写像を貼り合わせることは、X の自己準同型を与える。この準同型のことを絶対フロベニウス写像と言う。定義により絶対フロベニウス写像は、X から自分自身への準同型である。絶対フロベニウス写像は、 Fp-スキーム上の恒等函手からそれ自身への自然な変換である。

XS-スキームで、S のフロベニウス写像が恒等写像であれば、絶対フロベニウス写像は S-スキームの射(morphism)である。しかし、一般には、そうとは言えない。例えば、環 A = \mathbf{F}_{p^2} を考える。XS とを、双方とも、恒等射となる構造射 X → S をもつ Spec A とする。A 上のフロベニウス写像は、aap へ写す。 この写像は \mathbf{F}_{p^2}-代数の写像ではない。もしそうだとすると、\mathbf{F}_{p^2} での元 b による積がフロベニウス自己準同型を適用することと可換となってしまう。しかし、

b \cdot a = ba \neq F(b) \cdot a = b^p a

であるから、これは正しくない。前者は A の始まる \mathbf{F}_{p^2}-代数構造の b 作用であり、後者はフロベニウスにより引き起こされた \mathbf{F}_{p^2} 上の作用である。結局、Spec A 上のフロベニウス写像は \mathbf{F}_{p^2}-スキーム上の射ではない。

絶対フロベニウス写像は、次数 p の純粋な非分離射である。この微分は 0 である。絶対フロベニウス写像は積を保存し、このことは任意の 2つのスキーム XY に対し、FX×Y = FX × FY であることを意味する。

フロベニウスによるスカラーの制限と拡大[編集]

φ : X → SS-スキーム X の構造射とする。基本スキーム S はフロベニウス写像 FS を持っている。FS と結合 φ は、フロベニウスによるスカラーの制限と呼ばれる S-スキーム XF を結果する。スカラーの制限は、実際、S-射 X → YS-射 XF → YF を惹き起すので函手である。

例えば、標数 p > 0 の環 A と A 上の有限な代数

R = A[X_1, \ldots, X_n] / (f_1, \ldots, f_m)

を考える。R 上の A の作用は、

c \cdot \sum a_\alpha X^\alpha = \sum c a_\alpha X^\alpha

により与えられる。ここに α は多重インデックスとする。X = Spec R とすると、XF はアフィンスキーム Spec R であるが、構造射 Spec R → Spec A、つまり、R 上の A の作用は異なっている。

c \cdot \sum a_\alpha X^\alpha = \sum F(c) a_\alpha X^\alpha = \sum c^p a_\alpha X^\alpha.

何故ならば、フロベニウスによるスカラーの制限は単純な合成で、X の多くの性質はフロベニウス写像に対する適当な前提の下に XF により引き継がれるからである。例えば、X と SF が両方とも有限型であれば、XF も有限型である。

フロベニウスによるスカラーの拡張(extension of scalars by Frobenius)は

X^{(p)} = X \times_S S_F

と定義される。S 要素への射影は、X(p)S-スキームとする。S が脈絡が明らかではない場合、X(p)X(p/S) と書かれる。スカラーの制限のように、スカラーの拡張は、函手である。S-射 X → YS-射 X(p) → Y(p) を決定する。

前にのべたように、環 A と A 上の有限生成な代数 R を考え、再び X = Spec R とおくと、

X^{(p)} = \operatorname{Spec} R \otimes_A A_F

となる。X(p) の大域的切断は、

\sum_i \left(\sum_\alpha a_{i\alpha} X^\alpha\right) \otimes b_i = \sum_i \sum_\alpha X^\alpha \otimes a_{i\alpha}^p b_i

の形をしている。ここに α は多重インデックスで、全ての a と bi は A の元である。この切断上のでの A の元 c の作用は、

c \cdot \sum_i \left (\sum_\alpha a_{i\alpha} X^\alpha\right) \otimes b_i = \sum_i \left(\sum_\alpha a_{i\alpha} X^\alpha\right) \otimes b_i c

である。結局、X(p) は、

\operatorname{Spec} A[X_1, \ldots, X_n] / \left (f_1^{(p)}, \ldots, f_m^{(p)} \right )

と同型である。ここに、

f_j = \sum_\beta f_{j\beta} X^\beta

であれば、

f_j^{(p)} = \sum_\beta f_{j\beta}^p X^\beta

である。任意の A-代数 R に対し同様なことが成り立つ。

スカラーの拡張はベースチェンジであるので、スカラーの拡張は極限や余積を保存する。特に、このことは X が(群スキームのように)有限の極限を持つことばの代数構造を持っているとすると、X(p) の形となることを意味する。さらにベースチェンジすることで、スカラーの拡大が有限タイプのときのように、有限表示、分離性、アフィン性などの性質を引き継ぐことを意味する。

スカラーの拡大は、ベースチェインジに対して、うまく振る舞う。射 S′ → S が与えられると、自然な同型:X^{(p/S)} \times_S S' \cong (X \times_S S')^{(p/S')} が存在する。

相対的フロベニウス[編集]

S-スキーム X相対的フロベニウス写像(relative Frobenius morphism)とは、

F_{X/S} = (F_X, 1_S)

により定義される射

F_{X/S} : X \to X^{(p)}

である。絶対フロベニウス写像は自然であるので、相対的フロベニウス写像は、S-スキームの射である。

例えば、A-代数

R = A[X_1, \ldots, X_n] / (f_1, \ldots, f_m).

を考える。すると、

R^{(p)} = A[X_1, \ldots, X_n] / (f_1^{(p)}, \ldots, f_m^{(p)})

を得る。相対的フロベニウス写像は、

\sum_i \sum_\alpha X^\alpha \otimes a_{i\alpha} \mapsto \sum_i \sum_\alpha a_{i\alpha}X^{p\alpha}

により定義される準同型写像 R(p) → R である。

相対的フロベニウス写像は、ベースチェインジと整合性を持ち、その意味は、X(p/S) ×S S′(X ×S S′)(p/S′) との自然な同型の下で、

F_{X / S} \times 1_{S'} = F_{X \times_S S' / S'}

を得る。

相対的フロベニウス写像は、普遍的な同相写像である。X → S を開埋め込みとすると、恒等写像となる。X → SOS のイデアル I により決まる閉埋め込みとすると、X(p) はイデアル層 Ip より決定され、相対的フロベニウスは、増強された写像 OS/Ip → OS/I である。

X が S 上に不分岐であることと、FX/S が不分岐であること、FX/S が単射準同型(monomorphism)であることとは同値である。X が S 上でエタールであることと、FX/S がエタールであること、FX/S が同型であることとは同値である。

数論的フロベニウス[編集]

数論的フロベニウスと幾何学的フロベニウス英語版(Arithmetic and geometric Frobenius)を参照

S-スキーム X数論的フロベニウス写像(arithmetic Frobenius morphism)は、

F^a_{X/S} = 1_X \times F_S

により定義される同型

F^a_{X/S} : X^{(p)} \to X \times_S S \cong X

である。すなわち、1X による FS のベースチェインジである。

繰り返すと、

R = A[X_1, \ldots, X_n] / (f_1, \ldots, f_m),
R^{(p)} = A[X_1, \ldots, X_n] / (f_1, \ldots, f_m) \otimes_A A_F,

であれば、数論的フロベニウスは準同型

\sum_i \left(\sum_\alpha a_{i\alpha} X^\alpha\right) \otimes b_i \mapsto \sum_i \sum_\alpha a_{i\alpha} b_i^p X^\alpha

である。R(p)

R^{(p)} = A[X_1, \ldots, X_n] / \left (f_1^{(p)}, \ldots, f_m^{(p)} \right )

のように置きなおすと、この準同型は

\sum a_\alpha X^\alpha \mapsto \sum a_\alpha^p X^\alpha

となる。

幾何学的フロベニウス[編集]

S の絶対フロベニウス写像が F_S^{-1} を持ち可逆であるとする。S_{F^{-1}}S-スキーム F_S^{-1} : S \to S と書くと、F_S^{-1} により X の拡張スカラーが存在する。

X^{(1/p)} = X \times_S S_{F^{-1}}.

もし、

R = A[X_1, \ldots, X_n] / (f_1, \ldots, f_m)

であれば、F_S^{-1} による拡張は

R^{(1/p)} = A[X_1, \ldots, X_n] / (f_1, \ldots, f_m) \otimes_A A_{F^{-1}}.

を与える。もし、

f_j = \sum_\beta f_{j\beta} X^\beta,

であれば

f_j^{(1/p)} = \sum_\beta f_{j\beta}^{1/p} X^\beta,

と書くことができ、従って、同型

R^{(1/p)} \cong A[X_1, \ldots, X_n] / (f_1^{(1/p)}, \ldots, f_m^{(1/p)})

が存在する。

S-スキーム X幾何学的フロベニウス写像(geometric Frobenius morphism)は、射

F^g_{X/S} : X^{(1/p)} \to X \times_S S \cong X

であり、

F^g_{X/S} = 1_X \times F_S^{-1}

で定義される。これは 1X による F_S^{-1} のベースチェインジである。

上の A と R の例につづいて、幾何学的フロベニウスは

\sum_i \left(\sum_\alpha a_{i\alpha} X^\alpha\right) \otimes b_i \mapsto \sum_i \sum_\alpha a_{i\alpha} b_i^{1/p} X^\alpha

であると定義される。\{f_j^{(1/p)}\} の項で R(1/p) を書き換えた後、幾何学的フロベニウスは

\sum a_\alpha X^\alpha \mapsto \sum a_\alpha^{1/p} X^\alpha

となる。

ガロア作用としての数論的フロベニウスと幾何学的フロベニウス[編集]

S のフロベニウス写像を同型とすると、フロベニウス写像は S の群の自己同型の部分群を生成する。S = Spec k が有限体のスペクトルとすると、自己同型は素体上の体のガロア群となり、フロベニウス写像とその逆は、双方とも自己同型群を生成する。加えて、X(p)X(1/p)X と同一視される。従って、数論的フロベニウス写像と幾何学的フロベニウス写像は、X の自己準同型であり、それらは X 上の k のガロア群の作用を導く。

K-点 X(K) の集合を考える。この集合はガロア作用を伴う。そのような各々の点 x は、構造素から x での剰余体への準同型 OX → k(x) ≅ K に対応し、x へのフロベニウス作用は剰余体へフロベニウス準同型を適用することである。このガロア作用は、数論的フロベニウスの作用に一致する。合成写像

\mathcal{O}_X \to k(x) \xrightarrow{F} k(x)

は、合成写像

\mathcal{O}_X \xrightarrow{F^a_{X/S}} \mathcal{O}_X \to k(x)

と、数論的フロベニウスの定義により、同じものとなる。結局、数論的フロベニウスは、明らかに X の自己準同型として、ガロア群の作用を示している。

局所体のフロベニウス[編集]

局所体不分岐有限拡大 L/K が与えられると、フロベニウス自己準同型(Frobenius endomorphism)が存在し、剰余体の対応する拡大の中のフロベニウス準同型を誘導する。[2]

L/KK整数環 OK を持つ局所体の不分岐拡大で、剰余体である最大イデアル φ を modulo とする K の整数が位数 q の有限体であるとする。Φφ 上にある L の素イデアルにならば、つまり、L/KΦ を modulo として L の整数であるという定義により不分岐であるならば、L の剰余体は、K の剰余体を拡張である環 qf の有限体となる。ここに f は、L/K の次数である。L の整数環 OL の元に対するフロベニウス写像を

s_\Phi(x) \equiv x^q \mod \Phi

となる L の自己同型 sΦ として定義する。

大域体のフロベニウス[編集]

代数的整数論では、フロベニウス元(Frobenius elements)は、L/K で不分岐な L素イデアル Φ の有限ガロア拡大(Galois extension)である大域体(global field)の拡大 L/K の定義である。拡大は不分岐であるので、Φ分解群英語版(decomposition group)は剰余体の拡大のガロア群である。よって、フロベニウス元は局所的な場合の L の整数の環の元に対して次のように定義することができる。

s_\Phi(x) \equiv x^q \mod \Phi

ここに q は剰余体 OK mod Φ の位数である。

フロベニウスの一覧表はp-微分英語版(p-derivations)に対応している。

[編集]

多項式

x5 − x − 1

判別式

19 × 151,

であるので、素数 3 上で不分岐である。また、mod 3 で既約でもある。従って、3-進数 Q3 の体への根 ρ の添加は、Q3 の不分岐拡大 Q3(ρ) を与える。ρ3 に最も近い根をとることによりフロベニウス写像の ρ の像を見つけることができ、この方法をニュートン法(Newton's method)と呼ばれることもある。このようにして、整数の環 Z3[ρ] の元である、3-進整数に係数を持つ ρ で次数 4 を持つ多項式である。この多項式は、modulo 38 では、

\rho^3 + 3(460+183\rho-354\rho^2-979\rho^3-575\rho^4)

である。

これは Q 上の代数的数であり、QQ3 への埋め込みのことばで、大域的フロベニウスの像を正しく表したものである。さらに、係数は代数的であり、結果は代数的に表すことができる。しかし、これらはガロア群の位数である次数は 120 であり、p-進の結果が成り立てば、明らかに計算が非常に簡単に遂行できるという結果を示している。

L/K が大域体のアーベル拡大であれば、基礎体 K の素イデアル φ に依存するので、非常に強い合同関係が得られる。例えば、

\beta^5+\beta^4-4\beta^3-3\beta^2+3\beta+1=0

を満たす根 βQ へ添加することで得られる Q の拡大 Q(β) を考える。この拡大は位数 5 の巡回拡大で、整数 n に対し根

2 \cos \tfrac{2 \pi n}{11}

を持っている。これは、βチェビシェフ多項式の根を持っている。

β2 − 2, β3 − 3β, β5 − 5β3 + 5β

は素数 2, 3, 5 に対するフロベニウス写像の結果を与えるので、より大きな素数で 11 ではない素数、もしくは 22n + 1(これは分解する)の形の素数に対しての結果となる。このことは、直ちに、どのようにしてフロベニウス写像が、根 β を p-番目のべきに mod p で等しいとする結果を与えるかを示している。

関連項目[編集]

参考文献[編集]

  1. ^ このことはフレッシュマンの夢英語版(Freshman's dream)として知られている。
  2. ^ Fröhlich, A.; Taylor, M.J. (1991). Algebraic number theory. Cambridge studies in advanced mathematics. 27. Cambridge University Press. p. 144. ISBN 0-521-36664-X. Zbl 0744.11001.