合同ゼータ関数

合同ゼータ関数（ごうどうぜーたかんすう）とは、有限体上の代数多様体を用いて定義されるゼータ関数の一種である。

F_qをq個の元をもつ有限体、Vをその上の代数多様体とする。N_mをVのF_q^m有理点の個数（定義方程式の解の個数）とするとき、F_q上のVの合同ゼータ関数は以下のようにuの形式的べき級数として定義される。

$\mathit{Z} (V,u) = \exp \left( \sum_{m=1}^{\infty} N_m \frac{u^m}{m} \right)$

あるいは同じことだが

$(1) \mathit{Z} (V,0) = 1 \,$

$(2) \frac{d}{du} \log \mathit{Z} (V,u) = \sum_{m=1}^{\infty} N_m u^{m-1}$

が定義に採用されることもある。

数学者のアンドレ・ヴェイユはVが完備な非特異代数多様体のときVの合同ゼータ関数はきわめて美しい性質を持つことを予想した（ヴェイユ予想）。この予想はアレクサンドル・グロタンディークによる代数幾何学の書き直しを促し、スキーム論の誕生のきっかけとなった。ヴェイユ予想は最終的にピエール・ルネ・ドリーニュによって完全に解決され、合同ゼータ関数はリーマン予想を満たすことが証明された。

参考文献

• 日本数学会　『岩波数学辞典（第3版）』　岩波書店、1985年。ISBN 4000800167
• 上野健爾　『代数幾何入門』　岩波書店、1995年。ISBN 4000056417