楕円曲線のハッセの定理

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楕円曲線のハッセの定理(Hasse's theorem on elliptic curves)は、ハッセの境界とも呼ばれ、有限体上の楕円曲線上の点の数の、上と下の境界の値の見積もりを与える。

N を q 個の元を持つ有限体上の楕円曲線 E の点の数について、ヘルムート・ハッセ(Helmut Hasse)の結果は、その個数が

|N - (q+1)| \le 2 \sqrt{q}

であることを言っている。つまり、これもの解釈は、N が q + 1 でなければ同じ体の上の射影直線英語版(projective line)の点の数であり、「エラー項」は、各々が絶対値 √q の 2つの複素数の和である。

この結果は、エミール・アルティンドイツ語版英語版(Emil Artin)により彼の論文で元々予想されたものである。[1] これは1933年にハッセ(Hasse)により証明され、証明は一連の論文で出版された。[2]

ハッセの定理は、E の局所ゼータ函数の根の絶対値の決定と同値である。この形で、楕円曲線に付随する函数体リーマン予想の類似を理解することができる。

ハッセ・ヴェイユ境界[編集]

ハッセ境界の高次種数の代数曲線への一般化はハッセ・ヴェイユ境界である。これは、有限体上の曲線の点の数の境界をもたらす。位数が q の有限体 \mathbb{F}_q 上の種数 g の曲線 C の点の数を \#C(\mathbb{F}_q) とすると、

|\#C(\Bbb{F}_q) - (q+1)| \le 2g \sqrt{q}

となる。

この結果は再び、曲線 C の局所ゼータ函数の決定と同値であり、この曲線に付随する函数体についてのリーマン予想の類似である。

ハッセ・ヴェイユ境界は、g = 1 である楕円曲線へ適用したときの普通のハッセ境界を導く。

ハッセ・ヴェイユ境界は、元々はアンドレ・ヴェイユ(André Weil)が1949年に提唱したヴェイユ予想の結果である。[3]この予想は1974にピエール・デリーニュ(Pierre Deligne)より証明された。[4]

参考文献[編集]

参照項目[編集]

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