函数の根

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本項は函数が 0 となる点(x-切片)についてのものであり、0 における函数の値(y-切片)と混同してはならない。
区間 [-2π,2π] での ƒ(x) = cosx のグラフ。根は赤で示してある。

数学における函数の(こん、: root)または零点 (zero) とは、実数値・複素数値・ベクトル値あるいは一般の環などに値を持つ函数 f に対し、その定義域に属する元 xƒ(x) がそこで消えている (vanish)、つまり

x \text{ such that } f(x) = 0

となるようなものをいう。別な言い方をすれば、函数 f の「根」とは、xf で写した結果が 0 となるような値 x のことである。たとえば f

f(x)=x^2-6x+9

なる式で定義される函数とすれば、ƒ

f(3) = 3^2 - 6(3) + 9 = 0

を満たすから、x = 3 を根に持つ。

実数を実数に写すような函数について、その根は函数のグラフx-軸との交点の座標として得られ、この意味で函数の根を x-切片とも呼ぶ。

特定の種類の函数(特に多項式函数)の求根には、しばしば特殊化や近似法(たとえばニュートン法など)が用いられる。複素数の概念は(判別式が負の値となる)二次方程式三次方程式の根(負の数の平方根等が含まれる)を扱うために発展したものである。

奇数次の実係数多項式函数は、少なくともひとつの実根を持つ。偶数次の多項式函数が実根を持たないことも多いが、方程式論の基本定理によれば、任意の次数 n の多項式函数は重複度まで込めて n 個の複素根をもつ。実係数多項式函数の実根でない根は必ず共軛な複素数の対になる。ヴィエタの公式は多項式の係数と根の関係を記述する(各係数をすべての根の積和で表す)ものである。

最も重要な未解決問題であるリーマン予想は、リーマン・ゼータ函数の複素根の位置に関するものである。

関連項目[編集]