ロンドン方程式

ロンドン方程式（ロンドンほうていしき、London equation）とは、超伝導の特徴の１つであるマイスナー効果を理論的に説明する方程式のことである。ロンドン兄弟（フリッツ・ロンドンとハインツ・ロンドン）によって導きだされたのでロンドン方程式という。この方程式で使うλ（ラムダ）をロンドンの侵入長（しんにゅうちょう、London penetration depth）という。

超伝導体の電流密度 $\boldsymbol\mathit{j}$ が磁場のベクトルポテンシャル $\boldsymbol\mathit{A}$ に比例すると仮定する。（太字はベクトルを表す。）

ここで $\boldsymbol\mathit{B} = \nabla \times \boldsymbol\mathit{A}$ とし、 比例定数を $- \frac{1}{\mu _0\lambda^2}$ とする。（∇についてはナブラを参照のこと。）

こうして、

$\boldsymbol\mathit{j} = - \frac{1}{\mu _0\lambda^2}\boldsymbol{\mathit{A}}$

となる。これがロンドン方程式である。両辺に∇をとって、

$\nabla \times \boldsymbol\mathit{j} = - \frac{1}{\mu _0\lambda^2}\boldsymbol{\mathit{B}}\quad(1)$

のようにも表される。

マクスウェルの方程式により、

$\nabla \times \boldsymbol\mathit{B} = \mu _0\boldsymbol{\mathit{j}}$

両辺に∇をとって

$\nabla \times \left( \nabla \times \boldsymbol\mathit{B} \right)= - \nabla^2 \boldsymbol\mathit{B}=\mu _0 \left( \nabla \times \boldsymbol\mathit{j} \right)$

(1)のロンドン方程式より

$\nabla^2 \boldsymbol\mathit{B} = \frac{\boldsymbol\mathit{B}}{\lambda^2}$

が得られる。この式が成り立つのは、 $\boldsymbol\mathit{B} = 0$ のときだけである。これによりマイスナー効果が説明された。

超伝導体に外部磁場をかけた場合、磁場と超伝導体の表面との境界が平行であると仮定すると、超伝導体の内部の磁場は

$\boldsymbol\mathit{B} (x) =\boldsymbol\mathit{B} (0) \exp \left( -\frac{x}{\lambda} \right)$

で表すことができる。これはｘ軸に垂直な外部磁場Bがｘ軸方向に向かうにしたがって1/e倍に減少していくことを示す。この式からλが磁場の侵入の深さの目安となることがわかる。これをロンドンの侵入長という。

関連項目

• 超伝導
• コヒーレンス長
• 磁場侵入長
• マイスナー効果