ツェラーの公式

ツェラーの公式（Zeller's congruence）とは西暦の年、月、日からその日が何曜日であるかを算出する公式である。

まず求めたい日の年の千の位と百の位の連続の数字（例えば2310年ならば23）をJ、年の下2桁（例えば2310年ならば10）をK、月をm、日をq、曜日をhとする。ただし求めたい日の月が1月、2月の場合はそれぞれ前年の13月、14月とする（例えば、2007年1月1日なら2006年13月1日とする）。

次にユリウス暦の場合は

$h = \left(q + \left\lfloor \frac{(m + 1) 26}{10} \right\rfloor + K + \left\lfloor \frac{K}{4} \right\rfloor + 5 - J\right) \mod 7$

の計算をし、またグレゴリオ暦の場合は

$h = \left(q + \left\lfloor \frac{(m + 1) 26}{10} \right\rfloor + K + \left\lfloor \frac{K}{4} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{J}{4} \right\rfloor - 2J\right) \mod 7$

の計算をする。hが0なら土曜日、1なら日曜日、2なら月曜日、3なら火曜日、4なら水曜日、5なら木曜日、6なら金曜日である。

なお$\lfloor x \rfloor$はxを超えない（x以下）の最大の整数（床関数）、x　mod　7はxを7で割った余り（剰余演算）である。

プログラミング言語での使用

プログラミング言語においては負の値に対する剰余演算の都合上、整数の合同関係を用いて変形した式が用いられる。

ユリウス暦の場合は

$h = \left(q + \left\lfloor \frac{(m + 1) 26}{10} \right\rfloor + K + \left\lfloor \frac{K}{4} \right\rfloor + 5 + 6J\right) \mod 7$

となり、グレゴリオ暦の場合は

$h = \left(q + \left\lfloor \frac{(m + 1) 26}{10} \right\rfloor + K + \left\lfloor \frac{K}{4} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{J}{4} \right\rfloor + 5J\right) \mod 7$

となる。

ツェラーの公式の証明

ツェラーの公式はフェアフィールド（Fairfield）の公式の変形である。以下に、グレゴリオ暦を例に、その変形過程を記載する。

フェアフィールドの公式

1年1月1日（0年13月1日） ～ y 年 m 月 d の日数を求める。但し、m = 1, 2 の場合は、y = y - 1, m = m + 12とし、1年を、3月1日 ～ 14月28日（閏年は29日）と仮定する。

1年1月1日（0年13月1日）を含めた、y 年 m 月 d 日迄の日数は以下の通り。

　1年1月1日（0年13月1日） ～ 1年2月28日（0年14月28日）

　　・・・　　31 + 28 （日）

　1年3月1日 ～ ( y - 1 ) 年14月末日(この時点では閏年は考慮しない)

　　・・・　　365 ( y - 1 ) （日）

　1年1月1日（0年13月1日） ～ ( y - 1 ) 年14月末日の閏年の回数

　　・・・　　[ ( 1 + ( y - 1 ) ) / 4 ) ] - [ ( 1 + ( y - 1 ) ) / 100 ) ] + [ ( 1 + ( y - 1 ) ) / 400 ) ]

　　　　　　= [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] （日）

　y年3月1日 ～ y 年 ( m - 1 ) 月末日

　　・・・　　[ 306 ( m + 1 ) / 10 ] - 122 （日）　（以下表を参照）

　y 年 m 月1日 ～ y 年 m 月 d 日

　　・・・　　d （日）

当月(m)	前月(m-1)	日数(Σ)	[306(m+1)/10]-122
3		0	0
4	3	31	31
5	4	61	61
6	5	92	92
7	6	122	122
8	7	153	153
9	8	184	184
10	9	214	214
11	10	245	245
12	11	275	275
13	12	306	306
14	13	337	337

　　※3月1日 ～ ( m - 1 )月末日迄の日数と、[ 306 ( m + 1 ) / 10 ] - 122 の値は完全に一致している。

従って、1年1月1日 ～ y 年 m 月 d 日の日数は、上記全てを合算した、

　　31 + 28 + 365 ( y - 1 ) + [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] + [ 306 ( m + 1 ) / 10 ] - 122 + d

$= 365 y + \left\lfloor \frac{y}{4} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{y}{100} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{y}{400} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{306 ( m + 1 )}{10} \right\rfloor + d - 428$

　　・・・　　【※】／ Fairfield の公式

となる。一方、現行のグレゴリオ暦は、1582年10月15日を金曜日として施行されているが、仮に1年1月1日に施行されていたとすると、1年1月1日は月曜日であり、上記【※】式の 7 の剰余を求めることで、曜日が判明する。即ち、

$h = \left( 365 y + \left\lfloor \frac{y}{4} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{y}{100} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{y}{400} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{306( m + 1 )}{10} \right\rfloor + d - 428 \right) \mod 7$

　　・・・　　【Ⅰ】

　　但し、h が 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 の場合、それぞれ 日曜日、月曜日、火曜日、水曜日、木曜日、金曜日、土曜日

ツェラーの公式への変形

【Ⅰ】式が 7 の剰余である事を利用すると、以下の通り変形できる。

　　h = ( 7 ( 52 y - 62) + y + [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] + [ 153 ( m + 1 ) / 5 ] + 6 + d )　mod　7

　　　= (　　　　　　　　　　y + [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] + [ 153 ( m + 1 ) / 5 ] + 6 + d )　mod　7

ここで、[ ] （ガウス記号）の性質（ [ a ] + b = [ a + b ] , 但し b は整数）を利用すると、

　　h = ( y + [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] + [ 153 ( m + 1 ) / 5 + 6 ] + d )　mod　7

　　　= ( y + [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] + [ 28 m + ( 13 / 5 ) m + 35 + 8 / 5 ] + d )　mod　7

　　　= ( y + [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] + [ ( 13 m + 8 ) / 5 + 7 ( 4 m + 5 ) ] + d )　mod　7

　　　= ( y + [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] + [ ( 13 m + 8 ) / 5 ] + 7 ( 4 m + 5 ) + d )　mod　7

さらに、h が 7 の剰余であることを利用して、

$h = \left( y + \left\lfloor \frac{y}{4} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{y}{100} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{y}{400} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{13 m + 8}{5} \right\rfloor + d \right) \mod 7$

　　・・・　　【Ⅱ】

が導き出される。因みに【Ⅱ】式は、ツェラーの公式として広く一般的に知られているものである。

ツェラーの公式の変形

y = 100 J + K ( 0 ≦ K ≦ 99, J, K は整数)と置くと、（Ⅱ）式は以下の通り変形される。

　　h = ( 100 J + K + [ ( 100 J + K ) / 4 ] - [ ( 100 J + K ) / 100 ] + [ ( 100 J + K ) / 400 ] + [ ( 13 m + 8 ) / 5 ] + d )　mod　7

　　　= ( 100 J + K + [ 25 J + K / 4 ] - [ J + K / 100 ] + [ J / 4 + K / 400 ] + [ ( 26 m + 26 ) / 10 - 1 ] + d )　mod　7

　　　= ( 100 J + K + [ 25 J + K / 4 ] - [ J + K / 100 ] + [ J / 4 + K / 400 ] + [ ( 26 m + 26 ) / 10 ] - 1 + d )　mod　7

　　　= ( 100 J + K + 25 J + [ K / 4 ] - J - [ K / 100 ] + [ J / 4 + K / 400 ] + [ ( 26 m + 26 ) / 10 ] + d - 1 )　mod　7

　　　= ( 124 J + K 　　　　 + [ K / 4 ] 　 　 - [ K / 100 ] + [ J / 4 + K / 400 ] + [ ( 26 m + 26 ) / 10 ] + d - 1 )　mod　7

　　　= ( ( 7 * 17 ) J + 5 J + K + [ K / 4 ] - [ K / 100 ] + [ J / 4 + K / 400 ] + [ ( 26 m + 26 ) / 10 ] + d - 1 )　mod　7

h が 7 の剰余であることを利用して、

　　h = ( 5 J + K + [ K / 4 ] - [ K / 100 ] + [ J / 4 + K / 400 ] + [ ( 26 m + 26 ) / 10 ] + d - 1 )　mod　7

ここで、0 ≦ K ≦ 99より、0 ≦ K / 100 ≦ 0.99, 0 ≦ K / 400 ≦ 0.2475 であり、

　　[ K / 100 ] = 0

また、J / 4 の少数部分は、0, 0.25, 0.5, 0.75 の何れかの値を取る為、J / 4 + K / 400 の少数部分は、高々 0.75 + 0.2475 = 0.9975 であり、

　　[ J / 4 + K / 100 ] = [ J / 4 ]

としてよい。よって、

　　h = ( 5 J + K + [ K / 4 ] + [ J / 4 ] + [ ( 26 m + 26 ) / 10 ] + d - 1 )　mod　7

　　但し、h が 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 の場合、それぞれ 日曜日、月曜日、火曜日、水曜日、木曜日、金曜日、土曜日

が導き出され、被除数に 1 加算することで、

$h = \left( 5 J + K + \left\lfloor \frac{K}{4} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{J}{4} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{26 ( m + 1 )}{10} \right\rfloor + d \right) \mod 7$

　　・・・　　【Ⅲ】

　　但し、h が 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 の場合、それぞれ 土曜日、日曜日、月曜日、火曜日、水曜日、木曜日、金曜日

が導き出される。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【証明終】