インボリュート曲線

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インボリュート曲線（インボリュートきょくせん）は、その法線が常に一つの定円に接するような平面曲線である。円の伸開線 (involute of circle) あるいは反クロソイド (anti-clothoid) とも呼ばれる。

円の伸開線を描くのに、特に難しい知識は必要でない。固定された円形のリールに巻き取られた（伸縮しない）針金や糸を真っ直ぐに引き張ってほどいていけば、糸の端点は円の伸開線を描く。

これを初めて研究したのはホイヘンスである。ホイヘンスは等時性を示す擺線振子を作るために、円の伸開線を用いた。

$\begin{cases} x=a(\cos\theta +\theta\sin\theta),\\ y=a(\sin\theta -\theta\cos\theta)\end{cases}$

で表される。

[編集] 応用

一つの円とそれに接する一つの直線を取る。円に沿って直線を滑ることなく回転させるとき、直線上の任意の点が描く軌跡は円の伸開線と相似になる。

運動学的に見れば、速度と回転速度を一定に保ったまま運動する物体の描く軌跡が円の伸開線となる。速度が一定で、回転速度が線型に増加する物体が描く軌跡がクロソイドであることから、円の伸開線の別名として反クロソイドの名がある。

インボリュート歯車の歯の接触面

歯車の歯の形には円の伸開線の一部が使われている（インボリュート歯車）。これは、二つの歯のが接する点における接線が共通するような形になっているため、歯車の回転速度が一定になり、歯車の間のエネルギー伝導が最適になることが望めるからである。このような歯車に関して、他にも様々な注目すべき性質がある。