「マルコフ数」の版間の差分
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の解の一部を与える正[[整数]]''x'', ''y'', ''z''である。マルコフ数は、ロシアの数学者[[アンドレイ・マルコフ]]の名にちなんでいる。 |
の解の一部を与える正[[整数]]''x'', ''y'', ''z''である。<ref>{{cite journal | last1=Markoff | first1=A. | authorlink = アンドレイ・マルコフ |title=First memory| journal=[[Mathematische Annalen]] | year=1879 | doi=10.1007/BF02086269 | volume=15 | pages=381–406 | issue=3–4 | s2cid=179177894 |url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0015&DMDID=DMDLOG_0031&L=1}}</ref><ref>{{cite journal | last1=Markoff | first1=A. | authorlink = アンドレイ・マルコフ |title=Second memory| journal=[[Mathematische Annalen]] | year=1880 | doi=10.1007/BF01446234 | volume=17 | pages=379–399 | issue=3 | s2cid=121616054 |url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0017&DMDID=DMDLOG_0045&L=1}}</ref>マルコフ数は、ロシアの数学者[[アンドレイ・マルコフ]]の名にちなんでいる。 |
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最初のいくつかのマルコフ数を列挙する。 |
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で与えられることを証明した。さらに彼は、(元のディオファントス方程式の非常に良い近似である)<math>x^2 + y^2 + z^2 = 3xyz +4/9</math>が''f''(''t'') = [[双曲線関数#逆双曲線関数|arcosh]](3''t''/2)に対して<math>f(x)+f(y)=f(z)</math>と書けることを示した。 |
で与えられることを証明した。さらに彼は、(元のディオファントス方程式の非常に良い近似である)<math>x^2 + y^2 + z^2 = 3xyz +4/9</math>が''f''(''t'') = [[双曲線関数#逆双曲線関数|arcosh]](3''t''/2)に対して<math>f(x)+f(y)=f(z)</math>と書けることを示した。 |
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''n''番目の[[ラグランジュ数]]は、''n''番目のマルコフ数から以下の公式によって求められる。 |
''n''番目の[[ラグランジュ数]]{{仮リンク| ラグランジュ数|en|Lagrange number}は、''n''番目のマルコフ数から以下の公式によって求められる。 |
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*[[クラスター代数]] |
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==参考文献== |
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2022年10月3日 (月) 07:20時点における版
マルコフ数(マルコフすう)は、マルコフのディオファントス方程式と呼ばれる以下の式
の解の一部を与える正整数x, y, zである。[1][2]マルコフ数は、ロシアの数学者アンドレイ・マルコフの名にちなんでいる。
最初のいくつかのマルコフ数を列挙する。
これらは、解の組(マルコフの3つ組)としては以下のようなものである。
- (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1, 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (1, 233, 610), ...
マルコフ数もマルコフの3つ組も無限個存在する。マルコフのディオファントス方程式が対称であることから、マルコフの3つ組は要素を並べ替えても再び方程式の解を与える。したがって、(上記の例のように) を仮定して正規化することができる。最初の2つの3つ組を除いて、マルコフの3つ組は必ず3つの相異なる整数からなる。与えられたマルコフ数cに対して、cが最大要素であるようなマルコフの3つ組が一意に定まるとする予想がある。
マルコフ数は二分木上に配置することが可能である(図参照)。あるレベルに置かれた整数の中で最大のものは、常にほぼ下から3番目にある。解の1つが2であるような3つ組に含まれるマルコフ数は、すべて奇数番目のペル数である(あるいは、が平方数となるようなnと言い換えてもよい)。また、解の1つが1であるような3つ組に含まれるマルコフ数は、奇数番目のフィボナッチ数である。したがって、以下のようなマルコフの3つ組は無限個存在する。
ただしFxはx番目のフィボナッチ数とする。同様に、以下のようなマルコフの3つ組も無限個存在する。
ここでPxはx番目のペル数とする。
奇数のマルコフ数はという形であり、偶数のマルコフ数はという形である。
あるマルコフの3つ組 (x, y, z) がわかっているとき、という形の3つ組もまたマルコフの3つ組である。マルコフ数は素数であるとは限らないが、マルコフの3つ組の要素は常に互いに素である。がマルコフの3つ組であるために、必ずしもが常に成り立つ必要はない。実際、要素の順序を変えずに上記の変換を2回続ければ、元のマルコフの3つ組に戻る。そこで、(1, 1, 2)から初めてy と zを入れ替えてから変換を行うという操作を続けると、フィボナッチ数からなるマルコフの3つ組が並ぶ。またx と zを入れ替えてから変換を行うという操作を続ければ、ペル数からなるマルコフの3つ組を与える。
1979年に、Don B. Zagier は n番目のマルコフ数が近似的に
で与えられることを証明した。さらに彼は、(元のディオファントス方程式の非常に良い近似である)がf(t) = arcosh(3t/2)に対してと書けることを示した。
n番目のラグランジュ数{{仮リンク| ラグランジュ数|en|Lagrange number}は、n番目のマルコフ数から以下の公式によって求められる。
関連項目
参考文献
- ^ Markoff, A. (1879). “First memory”. Mathematische Annalen 15 (3–4): 381–406. doi:10.1007/BF02086269 .
- ^ Markoff, A. (1880). “Second memory”. Mathematische Annalen 17 (3): 379–399. doi:10.1007/BF01446234 .