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1886年、アンリ・ポアンカレ（写真）はブラウワーの不動点定理と同値な結果を証明した。その正確な証明は、三次元の場合は1904年にピアース・ボウル（英語版）によって行われ、一般の場合は1910年にジャック・アダマールとライツェン・ブラウワーによって行われた。

ブラウワーの不動点定理（ブラウワーのふどうてんていり、英: Brouwer's fixed-point theorem）は、位相幾何学における不動点定理で、ライツェン・ブラウワーの名にちなむ。この定理では、コンパクト凸集合からそれ自身への任意の連続函数 f に対して、f(x0) = x0 を満たす点 x0、すなわち不動点が存在することが述べられている。ブラウワーの定理の最も簡単な形式のものは、実数直線内の閉区間 I あるいは閉円板 D からそれ自身への連続函数 f に対するものである。後者に対するより一般のものは、ユークリッド空間の凸コンパクト部分集合 K からそれ自身への連続函数に対するものである。

不動点定理は数多く存在する[1]が、ブラウワーの不動点定理は数学の多くの分野をまたいで利用されるため、非常に有名である。元々の分野において、この結果はジョルダン曲線定理、毛深い球の定理（英語版）およびボルサック＝ウラムの定理（英語版）とともにユークリッド空間のトポロジーを特徴付ける重要な定理となっている[2]。このため、この定理は位相幾何学における基礎的な定理に位置付けられている[3]。この定理はまた、微分方程式の重要な結果を証明するために用いられ、微分幾何学の入門的なほとんどの課程において扱われている。この定理はまた、ゲーム理論のような分野でも用いられている。経済学において、ブラウワーの不動点定理とその拡張である角谷の不動点定理は、1950年代にノーベル経済学賞受賞者のケネス・アローとジェラール・ドブルーによって示されたように、マーケット経済の一般均衡の存在の証明で中心的な役割を果たしている。

この定理ははじめ、アンリ・ポアンカレとエミール・ピカールを中心とするフランスの数学者によって微分方程式の観点から研究されていた。ポアンカレ＝ベンディクソンの定理のような結果を証明する上で、位相幾何学的な手法を利用することが求められていた。19世紀末においてこの研究は、いくつかの定理を証明するに至った。一般的な場合は1910年にジャック・アダマール[4]とライツェン・ブラウワー[5]によって証明された。

関連項目

脚注

  1. ^ E.g. F & V Bayart Théorèmes du point fixe on Bibm@th.net
  2. ^ See page 15 of: D. Leborgne Calcul différentiel et géométrie Puf (1982) ISBN 2-13-037495-6
  3. ^ More exactly, according to Encyclopédie Universalis: Il en a démontré l'un des plus beaux théorèmes, le théorème du point fixe, dont les applications et généralisations, de la théorie des jeux aux équations différentielles, se sont révélées fondamentales. Luizen Brouwer by G. Sabbagh
  4. ^ Jacques Hadamard: Note sur quelques applications de l’indice de Kronecker in Jules Tannery: Introduction à la théorie des fonctions d’une variable (Volume 2), 2nd edition, A. Hermann & Fils, Paris 1910, pp. 437–477 (French)
  5. ^ L. E. J. Brouwer Über Abbildungen von Mannigfaltigkeiten Mathematische Annalen 71, pp. 97–115, doi:10.1007/BF01456931 (German; published 25 July 1911, written July 1910)

参考文献

  • Chow, S. N.; Mallet-Paret, J.; Yorke, J. A. (1978). “Finding zeroes of maps: Homotopy methods that are constructive with probability one”. Math. of Comp. 32: 887–899. doi:10.1090/S0025-5718-1978-0492046-9. 
  • Gale, D. (1979). “The Game of Hex and Brouwer Fixed-Point Theorem”. The American Mathematical Monthly 86 (10): 818–827. doi:10.2307/2320146. JSTOR 2320146. 
  • Hirsch, Morris W. (1988). Differential Topology. New York: Springer. ISBN 0-387-90148-5  (see p. 72–73 for Hirsch's proof utilizing non-existence of a differentiable retraction)
  • Istrăţescu, V. I. (1981). Fixed Point Theory. Reidel. ISBN 90-277-1224-7 
  • Karamardian, S., ed (1977). Fixed Points: Algorithms and Applications. Academic Press. ISBN 0-12-398050-X 
  • Kellogg, R. B.; Li, T. Y.; Yorke, J. A. (1976). “A constructive proof of the Brouwer fixed point theorem and computational results”. SIAM J. Numer. Anal. 13 (4): 473–483. doi:10.1137/0713041. 
  • Sobolev, V. I. (2001), “Brouwer theorem”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://eom.springer.de/B/b017670.htm 

外部リンク

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