アペリーの定理

アペリーの定理（アペリーのていり、Apéry's theorem）とは、リーマンゼータ関数 ζ の特殊値 ζ(3) が無理数である、という定理である。つまり、

$\zeta (3)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}={\frac {1}{1^{3}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\ldots =1.2020569\ldots$

の数値は、p と q を整数としたとき分数 p/q と表すことができない。この数をアペリーの定数と呼ぶ。

正の整数でのリーマンゼータ函数の特殊値は、偶数での値はベルヌーイ数で表すことができ、無理数であることを示すことができる。しかし、奇数での値は、無理数であることが予想されているが、一般には未解決である。

歴史

オイラーは、n が正の整数であれば、ある有理数 p/q に対し、

${\frac {1}{1^{2n}}}+{\frac {1}{2^{2n}}}+{\frac {1}{3^{2n}}}+{\frac {1}{4^{2n}}}+\ldots ={\frac {p}{q}}\pi ^{2n}$

であることを証明した。特に、左辺を ζ(2n) として無限級数に書き出すことにより、B_n をベルヌーイ数として、

$\zeta (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}$

であることを彼は示した。πⁿ が常に有理数ではないことを示すことにより、ζ(2n) がすべての正の n に対し有理数でないことを示した。

正の整数 n に対する ζ(2n+1) の値が、π の項として表現することができないことについては、奇数でのいわゆるゼータ定数(zeta constants)として知られている。これらの値の比率は、すべての整数 n ≥ 1 に対し、

${\frac {\zeta (2n+1)}{\pi ^{2n+1}}}$

が超越的であることが予想されている。

このこのことにより、もしそうであれば超越的であると信ずるのであるが、奇数の引数でのゼータ定数が無理数であることを示す証明を見つけることがでない。しかし、1978年6月、ロジェ・アペリー(Roger Apéry)が「ζ(3) の値の無理性」(Sur l'irrationalité de ζ(3))と題する講演を行った。この講演の中で、彼は ζ(3) と ζ(2) が無理数であることの証明のアウトラインを話し、後日、π の項に依存する以前に挑戦した方法を単純化した方法を使った。予期されていなかった結果全体の性質と、アペリーのうんざりするような性格、非常スケッチ風な証明に、聴衆である主要な数学者の多くは証明を欠陥があるとして却下した。しかしながら、ヘンリー・コーヘン(Henri Cohen)、ヘンドリック・レンストラ(Hendrik Lenstra)とアルフレッド・ファン・デル・プールテン(Alfred van der Poorten)は、アペリーが何か正しいことを言っているかも知れないと思い、彼の証明の確認をし始めた。二ヶ月後に、彼らはアペリーの証明の検証を終え、8月18日にコーヘンは証明全体の詳細を講義で明らかにした。講義の後にアペリー自身は、彼のアイデアの源泉を説明するために講義を行った。

アペリーの証明

アペリーの元々の証明 は、ペーター・グスタフ・ディリクレのよく知られた無理性判定条件に立脚していた。この無理性判定条件は、無限に多くの互いに素な整数のペア p と q が存在して、ある c, δ > 0 に対して、

$\left|\xi -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {c}{q^{1+\delta }}}$

が成り立つとき、数 ξ が無理数であるという判定条件である。

アペリーの出発点は、ζ(3) の級数表現である

$\zeta (3)={\frac {5}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{3}{\binom {2n}{n}}}}$

であった。大まかには、アペリーは、数列 c_n,k を定義し、上記の級数と同じ速さで ζ(3) へ収束し、特に

$c_{n,k}=\sum _{m=1}^{n}{\frac {1}{m^{3}}}+\sum _{m=1}^{k}{\frac {(-1)^{m-1}}{2m^{3}{\binom {n}{m}}{\binom {n+m}{m}}}}$

である。従って、彼はさらに 2つの数列 a_n と b_n を定義し、商 c_n,k を得た。これらの数列は、

$a_{n}=\sum _{k=0}^{n}c_{n,k}{\binom {n}{k}}^{2}{\binom {n+k}{k}}^{2}$

と

$b_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}{\binom {n+k}{k}}^{2}$

であった。数列 a_n/b_n は ζ(3) へ評価条件を適用するに充分早く収束するが、不幸にも a_n は n = 2 以後は整数ではない。にもかかわらず、アペリーはこの問題に対処するため、適切な整数を a_n と b_n に乗じたのちでさえ、収束は無理性を保証するに充分な速さであることを示した。

後日の証明

アペリーの結果の 1年以内に、フリッツ・ボイカース(Frits Beukers)は、代わるべき別な証明を発見した。彼はアペリーの級数を、シフトルジャンドル多項式(shifted Legendre polynomials) ${\tilde {P_{n}}}(x)$ を意味する整数に置き換えた。

後にボイカーズのルジャンドル多項式を使った証明やネステレンコの証明などが発表されている。

アペリーはフランス人数学者で、当時隆盛を誇っていたブルバキとは疎遠に、独自でこの方法を開拓した。

Zudilin は、ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) のうち、少なくとも一つは無理数であることを示した。

参考文献

• Apéry, R. "Irrationalité de ζ(2)　et ζ(3)." Astérisque 61, 11-13, 1979.
• Zudilin, W. "One of the Numbers ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) Is Irrational." Uspekhi Mat. Nauk 56, 149-150, 2001.